Aryt w geom: oblicz indeks
Ciąg (a_n) jest określony wzorem a_n = -3n - 27 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Czterowyrazowy ciąg (a_ 2, a_ 13, a_ 35, a_k) jest geometryczny. Oblicz a_k. Zapisz obliczenia.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: oblicz wyrazy, znajdź iloraz, wyznacz indeks
- Schemat: wyrazy ze wzoru → iloraz q = a_p/a_m → kolejny wyraz a_k = (poprzedni) · q → indeks k z równania a_n = a_k. Iloraz wyznacza się z dwóch sąsiednich wyrazów, bo ciąg jest geometryczny.
- Krok 1. Dane
- ciąg (a_ 2, a_ 13, a_ 35, a_k) jest geometryczny, więc iloraz sąsiednich wyrazów jest stały
- a_n = -3n - 27
- Krok 2. Oblicz znane wyrazy
- podstawiamy indeksy do wzoru a_n = -3n - 27
- a_ 2 = -3 · 2 - 27
- pierwszy wyraz ciągu geometrycznego
- a_ 2 = -33, a_ 13 = -66
- Krok 3. Iloraz ciągu
- w ciągu geometrycznym iloraz to q = a_ 13 a_ 2
- q = a_ 13 a_ 2 = -66 -33
- iloraz dwóch kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego
- q = 2
- Krok 4. Kolejny wyraz a_k
- a_k to następny wyraz geometryczny: poprzedni ·, q
- a_k = a_ 35 · q = -132 · 2
- kolejny wyraz ciągu geometrycznego to poprzedni razy iloraz
- a_k = -264
Liczenie ilorazu jako różnicy a_ 13 - a_ 2 (jak w ciągu arytmetycznym). W ciągu geometrycznym iloraz to q = a_ 13 a_ 2, czyli dzielenie, nie odejmowanie.
Wyrazy ciągu geometrycznego biorą wartości z arytmetycznego a_n, ale ich indeksy (2, 13, 79) rosną geometrycznie. Indeks k znajdujemy rozwiązując a_n = a_k względem n.