Oblicz sumę szeregu z warunku
Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a_ 9 = 32 oraz a_ 13 = a_ 5 · (a_ 10 - 24). Ciąg (b_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest geometryczny i b_1 = a_ 10 oraz b_2 = a_ 7. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: różnica z równania kwadratowego
- Dane
- a_ 9 = 32, a_ 13 = a_ 5 · ≤ft( a_ 10 - 24)
- Warunek jako równanie
- a_ 5 = 32 - 4r, a_ 13 = 32 + 4r, a_ 10 = 32 + r
- każdy wyraz zapisujemy względem znanego a_ 9
- 32 + 4r = ≤ft( 32 - 4r)≤ft( 32 + r - 24)
- r^2 + r - 56 = 0
- Różnica ciągu
- = (1)^2 - 4 · 1 · (-56) = 225
- r = -1 ± 15 / 2 = 7 lub r = -8
- ciąg (a_n) jest rosnący, więc ujemna różnica odpada
- Ciąg (b_n)
- a_ 5 = 32 - 4 · 7 = 4
- cofamy się od a_ 9 do a_ 5
- b_1 = a_ 10 = 4 + 5 · 7 = 39
- b_2 = a_ 7 = 4 + 2 · 7 = 18
- q = 18 / 39 = 6/13
- Suma szeregu
- S = b_1/1 - q = 39 /1 - 6/13
- szereg jest zbieżny, więc suma wszystkich wyrazów istnieje
- S = 507/7
Podstawienie ilorazu do wzoru b_1/1 + q zamiast b_1/1 - q.