Oblicz sumę szeregu z warunku

Ciąg (a_n) , określony dla każdej liczby naturalnej n 1 , jest arytmetyczny i rosnący. W tym ciągu a_ 9 = 32 oraz a_ 13 = a_ 5 (a_ 10 - 24) . Ciąg (b_n) , określony dla każdej liczby naturalnej n 1 , jest geometryczny i b_1 = a_ 10 oraz b_2 = a_ 7 . Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (b_n) .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: różnica z równania kwadratowego

  1. Dane
  2. a_ 9 = 32, a_ 13 = a_ 5 ( a_ 10 - 24 )
  3. Warunek jako równanie
  4. a_ 5 = 32 - 4r, a_ 13 = 32 + 4r, a_ 10 = 32 + r
  5. każdy wyraz zapisujemy względem znanego a_ 9
  6. 32 + 4r = ( 32 - 4r ) ( 32 + r - 24 )
  7. r^2 + r - 56 = 0
  8. Różnica ciągu
  9. = (1)^2 - 4 1 (-56) = 225
  10. r = -1 15 2 = 7 lub r = -8
  11. ciąg (a_n) jest rosnący, więc ujemna różnica odpada
  12. Ciąg (b_n)
  13. a_ 5 = 32 - 4 7 = 4
  14. cofamy się od a_ 9 do a_ 5
  15. b_1 = a_ 10 = 4 + 5 7 = 39
  16. b_2 = a_ 7 = 4 + 2 7 = 18
  17. q = 18 39 = 6 13
  18. Suma szeregu
  19. S = b_1 1 - q = 39 1 - 6 13
  20. szereg jest zbieżny, więc suma wszystkich wyrazów istnieje
  21. S = 507 7

Podstawienie ilorazu do wzoru b_1 1 + q zamiast b_1 1 - q .