Oblicz sumę z pary wyrazów
Ciąg (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest geometryczny i zbieżny. W tym ciągu a_ 1 + a_ 3 = -488 oraz ≤ft| a_ 1 - a_ 3 | = 88. Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego ciągu. Rozważ wszystkie przypadki.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasycznie: układ równań metodą podstawiania
- Równanie z kroku 3 daje obie wartości wyrazu a_ 1, ale tylko jedno przypisanie spełnia założenie z treści, że ciąg jest zbieżny - dlatego dalej liczymy wyłącznie z ilorazem q = ± 5 / 6.
- Krok 1. Zapisz dane jako układ równań
- Niewiadome to oba wyrazy a_ 1 i a_ 3
- cases a_ 1 + a_ 3 = -488 ≤ft| a_ 1 - a_ 3 | = 88 cases
- Krok 2. Podstaw jeden wyraz za drugi
- Metoda podstawiania w układzie równań
- a_ 3 = -488 - a_ 1
- Z równania z sumą wyznaczamy drugi wyraz i wstawiamy go do równania z wartością bezwzględną.
- ≤ft| a_ 1 - ≤ft( #E53A3A -488 - a_ 1) | = 88
- Pod wartością bezwzględną zostaje jedna niewiadoma - oba a_ 1 dodają się do siebie.
- ≤ft| 2a_ 1 + 488 | = 88
- Wartość bezwzględna rozbija równanie na dwa przypadki - żadnego z nich nie wolno pominąć.
- 2a_ 1 + 488 = 88 lub 2a_ 1 + 488 = -88
- Krok 3. Rozwiąż oba przypadki
- 2a_ 1 + 488 = 88 lub 2a_ 1 + 488 = -88
- W obu przypadkach przenosimy liczbę na prawą stronę.
- 2a_ 1 = -400 lub 2a_ 1 = -576
- Dzielimy obie strony przez dwa - dostajemy oba wyrazy z treści zadania.
- a_ 1 = -200 lub a_ 1 = -288
- Krok 4. Wybierz przypisanie dające ciąg zbieżny
- a_ 1 = -288, a_ 3 = -200
- Do każdej wartości a_ 1 drugi wyraz dopisujemy z pierwszego równania. Ciąg jest zbieżny tylko przy |q| < 1, więc zostaje to przypisanie, w którym dalszy wyraz jest bliższy zeru - odwrotne dawałoby |q| ≥ 1.
- q^ 2 = a_ 3 a_ 1 = -200 -288 = 25 36
- Iloraz podniesiony do potęgi 3 - 1 daje stosunek obu wyrazów. Wykładnik jest parzysty, więc pierwiastek daje dwie wartości - dodatnią i ujemną - i obie spełniają warunek zbieżności.
- q = 5 6 lub q = - 5 6
- Krok 5. Oblicz sumę szeregu
- S = a_1 1-q
- Każdemu znakowi ilorazu odpowiada osobna suma szeregu zbieżnego.
- S = -1728 lub S = -1728/11
Krócej: suma i iloczyn wyrazów (wzory Viète'a)
- Ten sposób omija podstawianie: z danych liczymy od razu sumę i iloczyn pary wyrazów, a same wyrazy odczytujemy jako pierwiastki równania kwadratowego. Rachunki są krótsze, ale trzeba pamiętać wzory Viète'a.
- Krok 1. Kwadrat sumy i kwadrat różnicy
- Wyprowadzenie wzoru raz, dla dowolnych x i y
- ≤ft(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2, ≤ft(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2
- Oba kwadraty różnią się tylko znakiem przy podwojonym iloczynie, więc po odjęciu kwadraty pojedynczych liczb znikają.
- S^2 - D^2 = 4P
- Krok 2. Wyznacz iloczyn wyrazów
- S^2 - D^2 = 4P
- Podstawiamy sumę wyrazów oraz daną różnicę. Podniesienie do kwadratu kasuje wartość bezwzględną, więc znak różnicy nie ma tu znaczenia.
- ≤ft(-488)^2 - 88^2 = 4P
- Liczymy oba kwadraty i wykonujemy odejmowanie.
- 230400 = 4P
- Po prawej został poczwórny iloczyn - dzielimy przez cztery.
- P = 230400 4 = 57600
- Krok 3. Odczytaj wyrazy i policz szukaną wielkość
- Suma i iloczyn pary są już znane
- t^2 + 488t + 57600 = 0
- Liczby o sumie S i iloczynie P są pierwiastkami równania t^2 - St + P = 0 - nie wiadomo tylko, który pierwiastek jest którym wyrazem.
- t = -288 lub t = -200
- Wybieramy przypisanie dające ciąg zbieżny: a_ 1 = -288 oraz a_ 3 = -200. Odwrotne dałoby |q| ≥ 1, czyli ciąg rozbieżny.
- q = 5 6 lub q = - 5 6
- Oba ilorazy pasują do danych, bo indeksy wyrazów są nieparzyste - znak q nie wpływa na ich wartości.
- S = -1728 lub S = -1728/11
Podanie tylko JEDNEJ wartości końcowej zamiast obu (dla q dodatniego i ujemnego) - polecenie „Rozważ wszystkie przypadki” wymaga obu, gdy wynik zależy od znaku q. Równie częsty błąd: brak odrzucenia przypisania wyrazów dającego |q|≥ 1 (wtedy ciąg byłby rozbieżny, co przeczy założeniu z treści).
Dla sumy kwadratów, sumy wyrazów nieparzystych oraz - gdy pytany wyraz ma indeks nieparzysty - obie wartości ilorazu q dają TEN SAM wynik, bo q występuje tam w parzystej potędze. Odpowiedź jest wtedy jedna, mimo dwóch możliwych ilorazów.