Oblicz sumę z pary wyrazów

Rozwiązanie krok po kroku

Klasycznie: układ równań metodą podstawiania

1. Równanie z kroku 3 daje obie wartości wyrazu a_ 1 , ale tylko jedno przypisanie spełnia założenie z treści, że ciąg jest zbieżny - dlatego dalej liczymy wyłącznie z ilorazem q = 5 6 .
2. Krok 1. Zapisz dane jako układ równań
3. Niewiadome to oba wyrazy a_ 1 i a_ 3
4. cases a_ 1 + a_ 3 = -488 | a_ 1 - a_ 3 | = 88 cases
5. Krok 2. Podstaw jeden wyraz za drugi
6. Metoda podstawiania w układzie równań
7. a_ 3 = -488 - a_ 1
8. Z równania z sumą wyznaczamy drugi wyraz i wstawiamy go do równania z wartością bezwzględną.
9. | a_ 1 - ( #E53A3A -488 - a_ 1 ) | = 88
10. Pod wartością bezwzględną zostaje jedna niewiadoma - oba a_ 1 dodają się do siebie.
11. | 2a_ 1 + 488 | = 88
12. Wartość bezwzględna rozbija równanie na dwa przypadki - żadnego z nich nie wolno pominąć.
13. 2a_ 1 + 488 = 88 lub 2a_ 1 + 488 = -88
14. Krok 3. Rozwiąż oba przypadki
15. 2a_ 1 + 488 = 88 lub 2a_ 1 + 488 = -88
16. W obu przypadkach przenosimy liczbę na prawą stronę.
17. 2a_ 1 = -400 lub 2a_ 1 = -576
18. Dzielimy obie strony przez dwa - dostajemy oba wyrazy z treści zadania.
19. a_ 1 = -200 lub a_ 1 = -288
20. Krok 4. Wybierz przypisanie dające ciąg zbieżny
21. a_ 1 = -288, a_ 3 = -200
22. Do każdej wartości a_ 1 drugi wyraz dopisujemy z pierwszego równania. Ciąg jest zbieżny tylko przy |q| < 1 , więc zostaje to przypisanie, w którym dalszy wyraz jest bliższy zeru - odwrotne dawałoby |q| 1 .
23. q^ 2 = a_ 3 a_ 1 = -200 -288 = 25 36
24. Iloraz podniesiony do potęgi 3 - 1 daje stosunek obu wyrazów. Wykładnik jest parzysty, więc pierwiastek daje dwie wartości - dodatnią i ujemną - i obie spełniają warunek zbieżności.
25. q = 5 6 lub q = - 5 6
26. Krok 5. Oblicz sumę szeregu
27. S = a_1 1-q
28. Każdemu znakowi ilorazu odpowiada osobna suma szeregu zbieżnego.
29. S = -1728 lub S = - 1728 11

Krócej: suma i iloczyn wyrazów (wzory Viète'a)

1. Ten sposób omija podstawianie: z danych liczymy od razu sumę i iloczyn pary wyrazów, a same wyrazy odczytujemy jako pierwiastki równania kwadratowego. Rachunki są krótsze, ale trzeba pamiętać wzory Viète'a.
2. Krok 1. Kwadrat sumy i kwadrat różnicy
3. Wyprowadzenie wzoru raz, dla dowolnych x i y
4. (x + y )^2 = x^2 + 2xy + y^2, (x - y )^2 = x^2 - 2xy + y^2
5. Oba kwadraty różnią się tylko znakiem przy podwojonym iloczynie, więc po odjęciu kwadraty pojedynczych liczb znikają.
6. S^2 - D^2 = 4P
7. Krok 2. Wyznacz iloczyn wyrazów
8. S^2 - D^2 = 4P
9. Podstawiamy sumę wyrazów oraz daną różnicę. Podniesienie do kwadratu kasuje wartość bezwzględną, więc znak różnicy nie ma tu znaczenia.
10. (-488 )^2 - 88^2 = 4P
11. Liczymy oba kwadraty i wykonujemy odejmowanie.
12. 230400 = 4P
13. Po prawej został poczwórny iloczyn - dzielimy przez cztery.
14. P = 230400 4 = 57600
15. Krok 3. Odczytaj wyrazy i policz szukaną wielkość
16. Suma i iloczyn pary są już znane
17. t^2 + 488t + 57600 = 0
18. Liczby o sumie S i iloczynie P są pierwiastkami równania t^2 - St + P = 0 - nie wiadomo tylko, który pierwiastek jest którym wyrazem.
19. t = -288 lub t = -200
20. Wybieramy przypisanie dające ciąg zbieżny: a_ 1 = -288 oraz a_ 3 = -200 . Odwrotne dałoby |q| 1 , czyli ciąg rozbieżny.
21. q = 5 6 lub q = - 5 6
22. Oba ilorazy pasują do danych, bo indeksy wyrazów są nieparzyste - znak q nie wpływa na ich wartości.
23. S = -1728 lub S = - 1728 11

Podanie tylko JEDNEJ wartości końcowej zamiast obu (dla q dodatniego i ujemnego) - polecenie „Rozważ wszystkie przypadki” wymaga obu, gdy wynik zależy od znaku q . Równie częsty błąd: brak odrzucenia przypisania wyrazów dającego |q| 1 (wtedy ciąg byłby rozbieżny, co przeczy założeniu z treści).

Dla sumy kwadratów, sumy wyrazów nieparzystych oraz - gdy pytany wyraz ma indeks nieparzysty - obie wartości ilorazu q dają TEN SAM wynik, bo q występuje tam w parzystej potędze. Odpowiedź jest wtedy jedna, mimo dwóch możliwych ilorazów.