Iloraz ciągu geometrycznego
Ciąg geometryczny (a_n), określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1, jest rosnący. Wyrazy tego ciągu spełniają warunek a_ 5 = 36 · a_ 3. Iloraz ciągu (a_n) jest równy
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: z warunku wyznacz q^d, potem q
- Skrót: skoro q^ 2 = 36 = 6^ 2, to od razu q = 6. Znak + wynika z rosnącej monotoniczności.
- Krok 1. Warunek i zależność wyrazów
- Późniejszy wyraz a_ 5 jest 36 razy większy niż wcześniejszy a_ 3.
- a_ 5 = 36 · a_ 3
- od a_ 3 do a_ 5 mnożymy 2 razy przez iloraz q
- a_ 3 · q^ 2 = 36 · a_ 3
- Krok 2. Wyznacz q^ 2
- Dzielimy obie strony przez a_ 3 ≠ 0.
- a_ 3 · q^ 2 = 36 · a_ 3
- wyraz a_ 3 skraca się po obu stronach
- q^ 2 = 36
- Krok 3. Wyciągnij q i sprawdź monotoniczność
- Ciąg jest rosnący o dodatnich wyrazach, więc q > 1 - bierzemy pierwiastek dodatni.
- q^ 2 = 36 q = [ 2 ] 36
- rosnący ciąg geometryczny musi mieć q > 1, więc ujemne q odpada
- q = 6
Najczęstszy błąd: wybranie ujemnego ilorazu (np. -6 albo - 1 6). Choć q^ 2 może mieć ujemny pierwiastek przy parzystym d, ciąg rosnący o dodatnich wyrazach wymusza q > 0. Drugi błąd: odwrócenie ilorazu - pomylenie kierunku warunku (a_ 5 = 36 · a_ 3), co daje q i 1 q zamienione miejscami.