Trzywyrazowy ciąg arytmetyczny i malejący
Wyznacz wartość parametru t, dla której trzywyrazowy ciąg (3t + 7, t^2 + 1, t + 11) jest arytmetyczny i rosnący. Zapisz obliczenia.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: warunek arytmetyczności, potem monotoniczność
- Sam warunek arytmetyczności daje dwa pierwiastki - dopiero znak różnicy r rozstrzyga, który z nich spełnia warunek monotoniczności.
- Krok 1. Warunek arytmetyczności
- środkowy wyraz jest średnią sąsiadów
- 2≤ft(t^2 + 1) = ≤ft(3t + 7) + ≤ft(t + 11)
- Krok 2. Doprowadź do postaci ogólnej
- 2t^ 2 + 2 = 4t + 18
- po prawej stronie sumujemy wyrazy pierwszy i trzeci
- 2t^ 2 - 4t - 16 = 0
- wszystkie składniki po jednej stronie dają równanie kwadratowe
- t^ 2 - 2t - 8 = 0
- Krok 3. Rozwiąż równanie
- = (-2)^ 2 - 4 · 1 · (-8)
- współczynniki odczytujemy z postaci ogólnej
- = 36 √() = 6
- wyróżnik jest dodatni, więc równanie ma dwa pierwiastki
- t_1 = 2 - 6 /2 = -2 t_2 = 2 + 6 /2 = 4
- Sprawdź t = -2
- ≤ft(1, 5, 9)
- obliczamy trzy wyrazy ciągu dla tego pierwiastka
- r = 5 - 1 = 4
- różnica ciągu decyduje o monotoniczności
- r > 0;; rosnący
- Sprawdź t = 4
- ≤ft(19, 17, 15)
- te same rachunki dla drugiego pierwiastka
- r = 17 - 19 = -2
- różnica ciągu decyduje o monotoniczności
- r < 0;; malejący
- Krok 4. Wybierz pierwiastek
- ciąg ma być rosnący
- r > 0;; t = -2
Najczęstsza pomyłka: pominięcie nawiasów przy odejmowaniu wyrazów, np. ≤ft(t^2 + 1) - 3t + 7 zamiast ≤ft(t^2 + 1) - ≤ft(3t + 7).
Podanie obu pierwiastków bez odrzucenia niewłaściwego nie kończy rozwiązania - trzeba uzasadnić, że t = -2 jest jedyną wartością spełniającą oba warunki.