Ciąg arytmetyczny z warunkiem geometrycznym - suma

Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od 8. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1 , a ostatni wyraz tego ciągu jest równy 1097 . Drugi, czwarty i ósmy wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n) o numerach parzystych.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunek geometryczny → r → n → suma

  1. Krok 1. Dane
  2. Drugi, czwarty i ósmy wyraz tworzą - w tej kolejności - ciąg geometryczny
  3. a_1 = 1, a_n = 1097, a_ 2 = a_1 + 1r, a_ 4 = a_1 + 3r, a_ 8 = a_1 + 7r
  4. Krok 2. Różnica ciągu
  5. (1+3r)^2 = (1+r) (1+7r)
  6. w ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych; po rozwinięciu a_1^2 skraca się po obu stronach
  7. r^2 -r = 0
  8. obie strony podzielono jeszcze przez wspólny czynnik liczbowy
  9. r (r -1 ) = 0
  10. dla r = 0 ciąg byłby stały i ostatni wyraz byłby równy 1, a jest równy 1097
  11. r = 1
  12. Krok 3. Liczba wyrazów
  13. a_n = a_1 + (n-1) r
  14. znamy pierwszy wyraz, różnicę i ostatni wyraz - niewiadomą jest n
  15. 1097 = 1 + (n-1) 1
  16. przenosimy a_1 na lewą stronę
  17. (n-1) 1 = 1096
  18. dzielimy obie strony przez różnicę ciągu
  19. n - 1 = 1096
  20. n = 1097
  21. Krok 4. Suma wyrazów o numerach parzystych
  22. a_2, a_4, , a_ 1096 - ciąg arytmetyczny o różnicy 2r = 2
  23. a_2 = 2, a_ 1096 = 1096, liczba wyrazów: 548
  24. bierzemy co drugi wyraz ciągu (a_n) ; wyrazów o numerach parzystych jest n/2
  25. S = 548 2 ( 2 + 1096 )
  26. S = 300852

Najczęstsza pomyłka: pozostawienie pierwiastka r = 0 . Ciąg stały nie spełnia warunków zadania (pierwszy i ostatni wyraz są różne), więc to rozwiązanie trzeba odrzucić.