Trzywyrazowy ciąg arytmetyczny i malejący

Wyznacz wartość parametru t , dla której trzywyrazowy ciąg (3t + 7, t^2 + 1, t + 11) jest arytmetyczny i rosnący. Zapisz obliczenia.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunek arytmetyczności, potem monotoniczność

  1. Sam warunek arytmetyczności daje dwa pierwiastki - dopiero znak różnicy r rozstrzyga, który z nich spełnia warunek monotoniczności.
  2. Krok 1. Warunek arytmetyczności
  3. środkowy wyraz jest średnią sąsiadów
  4. 2 (t^2 + 1 ) = (3t + 7 ) + (t + 11 )
  5. Krok 2. Doprowadź do postaci ogólnej
  6. 2t^ 2 + 2 = 4t + 18
  7. po prawej stronie sumujemy wyrazy pierwszy i trzeci
  8. 2t^ 2 - 4t - 16 = 0
  9. wszystkie składniki po jednej stronie dają równanie kwadratowe
  10. t^ 2 - 2t - 8 = 0
  11. Krok 3. Rozwiąż równanie
  12. = (-2)^ 2 - 4 1 (-8)
  13. współczynniki odczytujemy z postaci ogólnej
  14. = 36 = 6
  15. wyróżnik jest dodatni, więc równanie ma dwa pierwiastki
  16. t_1 = 2 - 6 2 = -2 t_2 = 2 + 6 2 = 4
  17. Sprawdź t = -2
  18. (1, 5, 9 )
  19. obliczamy trzy wyrazy ciągu dla tego pierwiastka
  20. r = 5 - 1 = 4
  21. różnica ciągu decyduje o monotoniczności
  22. r > 0 ; ; rosnący
  23. Sprawdź t = 4
  24. (19, 17, 15 )
  25. te same rachunki dla drugiego pierwiastka
  26. r = 17 - 19 = -2
  27. różnica ciągu decyduje o monotoniczności
  28. r < 0 ; ; malejący
  29. Krok 4. Wybierz pierwiastek
  30. ciąg ma być rosnący
  31. r > 0 ; ; t = -2

Najczęstsza pomyłka: pominięcie nawiasów przy odejmowaniu wyrazów, np. (t^2 + 1 ) - 3t + 7 zamiast (t^2 + 1 ) - (3t + 7 ) .

Podanie obu pierwiastków bez odrzucenia niewłaściwego nie kończy rozwiązania - trzeba uzasadnić, że t = -2 jest jedyną wartością spełniającą oba warunki.