Suma wyrazów ciągu rekurencyjnego

Ciąg (a_n) jest określony następująco: cases a_1 = 12 a_ n+1 = a_n + 5 cases dla n ≥ 1. Suma pięćdziesięciu początkowych wyrazów ciągu (a_n) wynosi

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Kluczowy jest wzór na sumę S_n = n 2 (2a_1 + (n-1)r) - rekurencja służy tylko do odczytania różnicy r = 5.
Krok 1. Rozpoznaj ciąg arytmetyczny
pierwszy wyraz a_1 = 12, różnica r = 5, liczymy sumę n = 50 wyrazów
S_n = n 2 (2a_1 + (n-1)r)
suma n początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego
a_1 = 12, r = 5, n = 50
Krok 2. Podstaw do wzoru
wstaw a_1, r oraz n
S_ 50 = 50 2 (2· 12 + (50-1)· 5)
najpierw upraszczamy zawartość nawiasu
S_ 50 = 25 ( 24 + 245)
2·12 = 24 oraz (50-1)·5 = 49·5 = 245
S_ 50 = 25 · 269
Krok 3. Oblicz sumę
mnożymy n 2 przez wartość nawiasu
S_ 50 = 25 · 269
50 2 = 25, mnożymy przez 269
S_ 50 = 6725

Najczęstsza pomyłka: obliczenie samego a_n = a_1 + (n-1)r zamiast sumy, albo użycie n· r zamiast (n-1)· r w nawiasie.