Ciąg arytmetyczny z warunkiem geometrycznym - suma
Dany jest ciąg arytmetyczny (a_n) o skończonej liczbie wyrazów. Liczba wyrazów tego ciągu jest większa od 8. Pierwszy wyraz tego ciągu jest równy 1, a ostatni wyraz tego ciągu jest równy 1097. Drugi, czwarty i ósmy wyraz tego ciągu tworzą - w podanej kolejności - ciąg geometryczny. Oblicz sumę wszystkich wyrazów ciągu (a_n) o numerach parzystych.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: warunek geometryczny → r → n → suma
- Krok 1. Dane
- Drugi, czwarty i ósmy wyraz tworzą - w tej kolejności - ciąg geometryczny
- a_1 = 1, a_n = 1097, a_ 2 = a_1 + 1r, a_ 4 = a_1 + 3r, a_ 8 = a_1 + 7r
- Krok 2. Różnica ciągu
- (1+3r)^2 = (1+r) · (1+7r)
- w ciągu geometrycznym kwadrat wyrazu środkowego jest równy iloczynowi wyrazów skrajnych; po rozwinięciu a_1^2 skraca się po obu stronach
- r^2 -r = 0
- obie strony podzielono jeszcze przez wspólny czynnik liczbowy
- r≤ft(r -1) = 0
- dla r = 0 ciąg byłby stały i ostatni wyraz byłby równy 1, a jest równy 1097
- r = 1
- Krok 3. Liczba wyrazów
- a_n = a_1 + (n-1)· r
- znamy pierwszy wyraz, różnicę i ostatni wyraz - niewiadomą jest n
- 1097 = 1 + (n-1)· 1
- przenosimy a_1 na lewą stronę
- (n-1)· 1 = 1096
- dzielimy obie strony przez różnicę ciągu
- n - 1 = 1096
- n = 1097
- Krok 4. Suma wyrazów o numerach parzystych
- a_2, a_4,, a_ 1096 - ciąg arytmetyczny o różnicy 2r = 2
- a_2 = 2, a_ 1096 = 1096, liczba wyrazów: 548
- bierzemy co drugi wyraz ciągu (a_n); wyrazów o numerach parzystych jest n/2
- S = 548 /2·≤ft( 2 + 1096)
- S = 300852
Najczęstsza pomyłka: pozostawienie pierwiastka r = 0. Ciąg stały nie spełnia warunków zadania (pierwszy i ostatni wyraz są różne), więc to rozwiązanie trzeba odrzucić.