Przekrój ostrosłupa: trapez
Ostrosłup prawidłowy czworokątny ABCDS o podstawie ABCD ma pole powierzchni bocznej równe 32. Ten ostrosłup przecięto płaszczyzną γ, która: - jest prostopadła do ściany bocznej BCS ostrosłupa, - przechodzi przez środek K krawędzi AB oraz środek L krawędzi CD, - przecina krawędź boczną CS w punkcie M oraz krawędź boczną BS w punkcie N, - tworzy z płaszczyzną podstawy ABCD kąt o mierze 30°. Przekrój KLMN wyznaczony przez płaszczyznę γ jest trapezem równoramiennym. Oblicz obwód trapezu KLMN.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Przekrój osiowy: krok po kroku
- Kąt nachylenia ściany bocznej
- β + 30° = 90°
- płaszczyzna γ i ściana BCS są prostopadłe do przekroju osiowego ostrosłupa, więc kąt między nimi widać między ich śladami w tym przekroju - prostopadłość γ do ściany oznacza, że β i 30° dopełniają się do 90°
- β = 60°
- Krawędź podstawy i wysokość
- tg,β = H a/2;; H = a 2,tg,60° = #E53A3A a√(3)/2
- wysokość H, odcinek od środka podstawy do środka krawędzi (długość a/2) i kąt β tworzą trójkąt prostokątny; podstawiając H wyrażamy daną wielkość przez samo a
- P_b = 2a^2 = 32
- przyrównujemy wyrażenie do wartości podanej w treści zadania
- a = 4, H = 2√(3)
- Położenie punktów M, N i odcinek MN
- s = |CM| |CS|: s,H = a 2 (1-s),tg,30°
- lewa strona to wysokość punktu M nad podstawą (ułamek s drogi po krawędzi CS), prawa - wysokość płaszczyzny γ nad tym samym punktem podstawy; M leży w obu, więc są równe
- s,tg,60° = (1-s),tg,30°;; s = 1/4
- przekrój ostrosłupa na ułamku s wysokości jest kwadratem o boku a(1-s), a MN jest bokiem tego kwadratu
- |MN| = 4 · 3/4 = 3
- Wysokość trapezu
- h = a/2(1-s) 30°
- rzut wysokości trapezu na podstawę łączy środek KL z rzutem środka MN i ma długość a/2(1-s), a sama wysokość leży w płaszczyźnie γ nachylonej pod kątem 30°
- h = 3/2 √(3)/2 = √(3)
- Obwód trapezu
- r = h^2 + ≤ft( |KL| - |MN| 2)^!2
- ramię trapezu równoramiennego liczymy z twierdzenia Pitagorasa w płaszczyźnie trapezu
- r = √(13)/2
- obwód to suma obu podstaw i dwóch ramion
- L = 4 + 3 + 2 · √(13)/2 = 7 + √(13)
Odcinek KM o długości √(61)/2 to przekątna trapezu, nie ramię - licząc odległości punktów w przestrzeni łatwo je pomylić (ramiona to LM i NK).