Oblicz stosunek pól ostrosłupa

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCW o podstawie ABC . Płaszczyzna zawierająca krawędź AB podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej CW przecina tę krawędź w punkcie F , przy czym |WF| |CF| = 23 3 . Oblicz stosunek pola podstawy tego ostrosłupa do pola jego powierzchni całkowitej.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Rzut środkowej podstawy na krawędź boczną

  1. Wynik nie zależy od długości krawędzi, tylko od stosunku l do a , dlatego wystarczyła sama proporcja odcinków na krawędzi bocznej.
  2. Dane
  3. a krawędź podstawy, l krawędź boczna, M środek krawędzi AB
  4. |WF| |CF| = 23 3
  5. Położenie punktu F
  6. AB CM, AB WM
  7. W trójkącie równobocznym ABC oraz w trójkątnej ścianie równoramiennej środkowa poprowadzona do krawędzi AB jest jej wysokością. Prosta prostopadła do dwóch przecinających się prostych płaszczyzny jest prostopadła do całej płaszczyzny.
  8. |MF| CW
  9. Płaszczyzna przekroju zawiera AB , więc jest prostopadła do płaszczyzny CWM i przecina ją wzdłuż odcinka |MF| . Punkt F jest zatem spodkiem wysokości trójkąta CWM opuszczonej z wierzchołka M .
  10. |CM|^2 - |CF|^2 = |MF|^2 = |WM|^2 - |WF|^2
  11. Wysokość |MF| rozcina trójkąt CWM na dwa trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej. Odcinek |WM| jest wysokością ściany bocznej, a |WF| = l - |CF| .
  12. 3a^2 4 - |CF|^2 = l^2 - a^2 4 - (l - |CF| )^2
  13. Po rozwinięciu kwadratu po prawej stronie znoszą się składniki z |CF|^2 oraz z l^2 .
  14. a^2 = 2l |CF|
  15. Dzielimy obie strony przez podwojoną krawędź boczną.
  16. |CF| = a^2 2l
  17. Krawędź boczna z danej
  18. |WF| |CF| = 23 3
  19. Każdą postać danej sprowadzamy do udziału odcinka |CF| w całej krawędzi |CW| , korzystając z równości |CW| = |CF| + |WF| .
  20. |CF| |CW| = #E53A3A 3 26
  21. Podstawiamy wynik poprzedniego etapu oraz długość krawędzi bocznej.
  22. a^2 2l^2 = 3 26
  23. Odwracamy obie strony i dzielimy przez dwa.
  24. l^2 a^2 = 13 3
  25. Wysokość ściany bocznej i pole boczne
  26. h wysokość ściany bocznej, P_ b pole powierzchni bocznej
  27. ( h a )^2 = l^2 a^2 - 1 4
  28. Wysokość ściany bocznej, krawędź boczna i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Obie strony dzielimy przez a^2 .
  29. ( h a )^2 = 13 3 - 1 4 = #E53A3A 49 12
  30. Pierwiastkujemy, długości są dodatnie.
  31. h a = 7 3 6
  32. Powierzchnia boczna składa się z trzech przystających trójkątów o podstawie a i wysokości h .
  33. P_ b a^2 = 3 2 7 3 6 = 7 3 4
  34. Szukany stosunek pól
  35. P_ p a^2 = 3 4
  36. Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a . Dzielimy pole boczne przez pole podstawy.
  37. P_ b P_ p = 7 3 4 4 3 = 7
  38. Powierzchnia całkowita to suma pola bocznego i pola podstawy.
  39. P_ p P_ c = 1 7 + 1 = 1 8

Najczęstsza pomyłka: użycie wysokości ostrosłupa zamiast wysokości ściany bocznej, czyli odjęcie 1 3 zamiast 1 4 w twierdzeniu Pitagorasa. Wysokość bryły opiera się na promieniu okręgu opisanego na podstawie, a wysokość ściany bocznej na połowie krawędzi podstawy.

Rzut |CF| = a^2 2l pokazuje, że punkt F leży wewnątrz krawędzi tylko wtedy, gdy 2l^2 > a^2 . Dla ostrosłupa prawidłowego trójkątnego zawsze l > a 3 3 , więc warunek jest spełniony.