Oblicz pole boczne z kąta ścian

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: kąt dwuścienny wyznacza proporcje bryły

1. Prostopadłość i kąt β
2. $\mathsf{E}$ to rzut prostokątny wierzchołka $\mathsf{Q}$ na krawędź $\mathsf{WR}$
3. $\mathsf{QR}\perp \mathsf{PQ},\mathsf{QR}\perp \mathsf{WP}$
4. bok kwadratu jest prostopadły do sąsiedniego boku, a krawędź WP jako wysokość ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy
5. $\mathsf{QR}\perp \text{płaszczyzna }\mathsf{PQW}$
6. prosta prostopadła do dwóch przecinających się prostych płaszczyzny jest prostopadła do całej płaszczyzny
7. $\mathsf{QR}\perp \mathsf{QW}$
8. trójkąt QRW jest prostokątny przy Q, analogicznie trójkąt RSW przy S; rzuty Q i S na krawędź WR pokrywają się w punkcie $\mathsf{E}$ dzięki symetrii bryły
9. $\beta =|\angle \mathsf{QES}|$
10. Kąt β wyznacza proporcje
11. $\cos \beta =-\frac{16}{25}$
12. ze wzoru $\cos \beta =1-2{\sin }^2\frac{\beta }{2}$
13. $|\mathsf{QS}{|}^2=2|\mathsf{QE}{|}^2(1-\cos \beta )$
14. trójkąt QES jest równoramienny, bo $|\mathsf{QE}|=|\mathsf{SE}|$, a $|\mathsf{QS}|=\mathsf{a}\sqrt{2}$ to przekątna kwadratu
15. $|\mathsf{QE}|=\frac{\mathsf{a}\cdot |\mathsf{WQ}|}{|\mathsf{WR}|}$
16. wysokość z wierzchołka kąta prostego w trójkącie QRW: pole liczone na dwa sposoby
17. $\cos \beta =1-\frac{|\mathsf{WR}{|}^2}{|\mathsf{WQ}{|}^2}=-\frac{{\mathsf{a}}^2}{|\mathsf{WQ}{|}^2}$
18. $|\mathsf{WR}{|}^2={\mathsf{a}}^2+|\mathsf{WQ}{|}^2$ z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie QRW
19. $\frac{{\mathsf{a}}^2}{|\mathsf{WQ}{|}^2}=\frac{16}{25}\Rightarrow |\mathsf{WQ}|=\frac{5}{4}\mathsf{a}$
20. z twierdzenia Pitagorasa: $|\mathsf{WP}{|}^2=|\mathsf{WQ}{|}^2-{\mathsf{a}}^2$ oraz $|\mathsf{WR}{|}^2={\mathsf{a}}^2+|\mathsf{WQ}{|}^2$
21. $|\mathsf{WP}|=\frac{3}{4}\mathsf{a},|\mathsf{WR}|=\frac{\sqrt{41}}{4}\mathsf{a}$
22. Skala bryły z danej wielkości
23. $\frac{5}{4}\mathsf{a}=5\sqrt{41}\Rightarrow \mathsf{a}=4\sqrt{41}$
24. podana długość $|\mathsf{WQ}|$ w proporcji z poprzedniego kroku
25. $|\mathsf{WP}|=\boxed{3\sqrt{41}},|\mathsf{WQ}|=\boxed{5\sqrt{41}}$
26. proporcje z poprzedniego kroku zastosowane do krawędzi $\mathsf{a}=4\sqrt{41}$
27. $|\mathsf{WR}|=\frac{\sqrt{41}}{4}\mathsf{a}=\boxed{41}$
28. Odcinki przy punkcie E
29. $|\mathsf{QE}|=\frac{\mathsf{a}\cdot |\mathsf{WQ}|}{|\mathsf{WR}|}=\boxed{20}$
30. pole trójkąta QRW liczone na dwa sposoby: $\frac{1}{2}\mathsf{a}|\mathsf{WQ}|=\frac{1}{2}|\mathsf{WR}||\mathsf{QE}|$
31. $|\mathsf{RE}|=\frac{{\mathsf{a}}^2}{|\mathsf{WR}|}=\boxed{16}$
32. Szukana wielkość
33. pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa
34. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{c}}=\mathsf{a}\left(|\mathsf{WP}|+|\mathsf{WQ}|\right)+{\mathsf{a}}^2=4\sqrt{41}\cdot \left(3\sqrt{41}+5\sqrt{41}\right)+656$
35. pole boczne $\mathsf{a}(|\mathsf{WP}|+|\mathsf{WQ}|)$ powiększone o pole podstawy ${\mathsf{a}}^2$
36. $\boxed{1968}$

Najczęstsza pomyłka: pominięcie znaku minus przy $\cos \beta$. Kąt między ścianami jest rozwarty, więc $\cos \beta <0$; użycie wartości dodatniej daje $|\mathsf{QE}|$ liczone z $\frac{{\mathsf{a}}^2{\mathsf{n}}^2}{{\mathsf{k}}^2}$ zamiast $\frac{{\mathsf{a}}^2{\mathsf{n}}^2}{41}$ i cała dalsza część rozwiązania się rozjeżdża.