Ostrosłup: kąt między ścianami z kąta między krawędziami

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie ABC jest równa 8 3 , a cosinus kąta między krawędziami bocznymi SB i SC jest równy 5 9 . Oblicz długość krawędzi podstawy ABC oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi SAC i SBC tego ostrosłupa.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: od okręgu opisanego do kąta dwuściennego

  1. Sedno: rozmiar podstawy służy tylko do policzenia krawędzi a - do kąta dwuściennego w ogóle nie jest potrzebny, bo = 1+ zależy wyłącznie od kąta między krawędziami bocznymi.
  2. Krok 1. Dane bryły
  3. Ostrosłup prawidłowy trójkątny: podstawa ABC równoboczna, środek O jest środkiem okręgu opisanego o promieniu R .
  4. obwód okręgu = 8 3 , = 5 9
  5. Krok 2. Krawędź podstawy a
  6. Z obwodu okręgu opisanego wyznaczamy R , a w trójkącie równobocznym a = R 3 .
  7. 2 R = #E53A3A 8 3
  8. obwód okręgu opisanego to 2 R - przyrównujemy do wartości z treści i dzielimy przez 2
  9. R = 4 3
  10. w trójkącie równobocznym bok jest 3 razy dłuższy od promienia okręgu opisanego
  11. a = 4 3 3 = 12
  12. Krok 3. Krawędź boczna b
  13. W trójkącie równoramiennym BSC ( SB = SC = b , BC = a ) stosujemy twierdzenie cosinusów.
  14. a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2
  15. bok BC = a leży naprzeciw kąta przy wierzchołku S , a oba ramiona mają długość b
  16. a^2 = 2b^2 (1 - #E53A3A 5 9 )
  17. grupujemy wyrazy z b^2 i podstawiamy z danych
  18. 144 = 2b^2 4 9
  19. sprowadzamy 1 - do jednego ułamka i wstawiamy a^2 = (12)^2
  20. b^2 = 162
  21. Krok 4. Kąt między ścianami SAC i SBC
  22. Kąt liniowy tworzą wysokości AP, BP ścian opuszczone na wspólną krawędź SC ; po podstawieniu wynik zależy tylko od .
  23. = 1 - a^2 2 ,AP^2 , AP^2 = a^2(1+ ) 2
  24. P to spodek wysokości z A i z B na krawędź SC ; w trójkącie APB bok AB = a leży naprzeciw szukanego kąta
  25. = 1 - a^2 a^2 (1 + ) = 1 - 1 1 +
  26. kwadrat krawędzi podstawy skraca się - wynik przestaje zależeć od rozmiaru bryły
  27. = 1 + = 5 9 , 14 9 ,
  28. wstawiamy z danych - w liczniku i mianowniku pojawia się ten sam mianownik 9 , który się skróci
  29. = 5 14

Mylenie kąta między krawędziami bocznymi (płaski, w trójkącie BSC ) z kątem dwuściennym między ścianami. To dwa różne kąty - mierzymy między wysokościami ścian opuszczonymi na wspólną krawędź SC , nie między samymi krawędziami.

Wzór = 1+ jest zamknięty - nie zależy od długości krawędzi. Krawędź a i b liczymy tylko dlatego, że treść pyta osobno o długość a ; do drugiej szukanej wystarczy sam .