Zminimalizuj objętość bryły

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, których promień okręgu wpisanego w podstawę jest większy od 11 , a odległość środka podstawy od ściany bocznej jest równa 11 .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: funkcja jednej zmiennej i pochodna

  1. Ten sam rachunek działa dla dowolnej bryły o podstawie foremnej: zmienia się wyłącznie stała przed m^3 , a miejsce zerowe pochodnej zależy tylko od podanej odległości.
  2. Warunek na odległość
  3. h i m to przyprostokątne, 11 to wysokość opuszczona na przeciwprostokątną
  4. 11 = h m h^2 + m^2
  5. iloczyn przyprostokątnych podzielony przez przeciwprostokątną daje wysokość trójkąta prostokątnego
  6. 121 (h^2 + m^2 ) = h^2 m^2
  7. składniki z h^2 zbieramy po jednej stronie i wyłączamy je przed nawias
  8. h^2 = 121 m^2 m^2 - 121
  9. Pole powierzchni bocznej jako funkcja jednej zmiennej
  10. P_b = 1 2 6 3 m h^2 + m^2
  11. wstawiamy zależność z poprzedniego kroku, po czym zostaje jedna zmienna
  12. P_b(m) = 3 3 m^3 m^2 - 121
  13. Pochodna i jej miejsce zerowe
  14. P_b'(m) = 3 3 m^2(2m^2 - 363) (m^2 - 121) m^2 - 121
  15. mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc pochodna zeruje się tam, gdzie zeruje się licznik
  16. 2m^2 - 363 = 0
  17. z dwóch rozwiązań do dziedziny należy tylko dodatnie
  18. m = 11 6 2
  19. Znak pochodnej
  20. zmiana z ujemnej na dodatnią oznacza minimum
  21. P_b'(m) < 0 dla m (11, 11 6 2 )
  22. przed znalezioną wartością czynnik 2m^2 - 363 jest ujemny
  23. P_b'(m) > 0 dla m ( 11 6 2 , + )
  24. Najmniejsze pole powierzchni bocznej
  25. m = 11 6 2 m^2 = 363 2
  26. kwadrat znalezionej wartości wstawiamy do wzoru funkcji
  27. P_ b, = 3267 2

Dziedziną jest przedział (11, + ) : dla m = 11 mianownik m^2 - 121 zeruje się, a dla mniejszych wartości byłby ujemny.