Zmaksymalizuj pole czworokąta
Funkcja f jest określona wzorem f(x) = 21x - 147 /x - 14 dla każdego x (-∞, 14). W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) rozważamy wszystkie trójkąty BCD, w których: wierzchołki B oraz D są punktami przecięcia wykresu funkcji f z osiami, odpowiednio, Ox i Oy, a wierzchołek C ma obie współrzędne dodatnie i leży na wykresie funkcji f (zobacz rysunek).
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Pochodna: badanie znaku
- Wierzchołki na osiach
- f(x) = 0 21(x - 7) = 0
- ułamek jest zerem dokładnie wtedy, gdy zerem jest jego licznik
- f(0) = 21·(0 - 7) /0 - 14
- punkt na osi Oy ma odciętą zero, więc jego rzędną daje wartość f(0)
- B = ( 7, 0), D = (0, 21/2)
- Pole jako różnica figur
- P(x) = 1 2 · 7· f(x) + 1 2 · #DFC173 21/2 · x - 147/4
- od pola czworokąta z wierzchołkiem w początku układu odejmujemy trójkąt prostokątny odcięty przez osie
- P(x) = 21/4· x^2 - 98 /x - 14 - 147/4
- oba składniki mają wspólny czynnik, więc wracamy do jednego ułamka
- P(x) = 21/4· x^2 - 98 - 7(x - 14)/x - 14
- wyrazy wolne redukują się, zostaje różnica z czynnikiem x
- P(x) = 21/4· x(x - 7)/x - 14
- Pochodna i punkt krytyczny
- P'(x) = 21/4· x^2 - 28x + 98 /(x - 14)^2
- mianownik jest dodatni w całej dziedzinie, więc o znaku pochodnej decyduje licznik
- x^2 - 28x + 98 = 0
- współczynnik przy x jest parzysty, więc wystarczy wyróżnik skrócony
- x = 14 ± 7√(2) x_0 = 14 - 7√(2)
- Największe pole
- P' > 0 na (0, 14 - 7√(2)), P' < 0 na (14 - 7√(2), 7)
- pole rośnie do x_0, a za nim maleje, więc tam przyjmuje wartość największą
- P_ max = 441/4 - 147√(2)/2
Podstawienie i nierówność między średnimi
- Równość zachodzi dla t = 7√(2), czyli dla x = 14 - 7√(2).
- Bez pochodnej
- t = 14 - x, przy czym t > 0
- P = 21/4· (14 - t)^2 - 98 /-t - 147/4
- po podstawieniu mianownik jest równy -t
- P = 21/4· ≤ft(28 - t - 98 /t) - 147/4
- suma jest najmniejsza, gdy oba składniki są równe, czyli gdy t jest pierwiastkiem z licznika
- P ≤ 21/4· ≤ft(28 - 14√(2)) - 147/4 = 441/4 - 147√(2)/2