Oblicz najwieksza objetosc

Rozważamy wszystkie stożki o polu powierzchni całkowitej równym 16 .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: pochodna objętości

  1. Warunek z treści wiąże dwie wielkości bryły, więc objętość sprowadza się do funkcji jednej zmiennej na przedziale (0, 2 2 ) .
  2. Krok 1. Warunek z treści
  3. stożki, zmienna r (0, 2 2 )
  4. P_ c = 16
  5. Krok 2. Druga wielkość przez zmienną
  6. P_ c = 16
  7. z warunku zadania wyliczamy drugą wielkość, aby objętość zależała od jednej zmiennej
  8. h = 4 16 - 2r^2 r
  9. Krok 3. Objętość jednej zmiennej
  10. podstawiamy h do wzoru na objętość
  11. V(r) = 4 3 r 16 - 2r^2
  12. Krok 4. Pochodna i jej miejsce zerowe
  13. funkcja pomocnicza f ma maksimum tam, gdzie V
  14. f'(r) = 512r - 128r^3
  15. ekstremum funkcji różniczkowalnej leży w miejscu zerowym pochodnej
  16. 128r (4 - r^2 ) = 0
  17. pierwiastki spoza dziedziny odrzucamy, zostaje jeden kandydat
  18. r = 2
  19. Krok 5. Uzasadnienie maksimum
  20. pochodna zmienia znak z dodatniego na ujemny
  21. f' > 0 w (0, 2 ) f' < 0 w (2, 2 2 )
  22. Krok 6. Oblicz największą objętość.
  23. podstawiamy r = 2
  24. V_ = 16 2 3

Samo zerowanie pochodnej nie wystarcza: pełne rozwiązanie wymaga zbadania znaku f' po obu stronach punktu r = 2 .