Najmniejsze pole trojkata z okregiem wpisanym

W projekcie ogrodu zaplanowano grządkę w kształcie trójkąta równoramiennego o podstawie długości x metrów nieprzekraczającej 12 metrów. Na tej grządce ma znajdować się oczko wodne w kształcie koła o średnicy 6 metrów, które ma być styczne do każdego z boków trójkątnej grządki (zobacz rysunek). Projektantowi zależy, aby przy tak ustalonej wielkości oczka wodnego pole tego grządki było najmniejsze.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 12.1: wzór na pole z okręgu wpisanego

  1. Kluczem 12.1 jest wzór r = 2P L - łączy on daną (promień 3 ) z niewiadomą wysokością. Po jej wyznaczeniu pole liczymy już wprost, a 1 2 6 = 3 daje współczynnik licznika.
  2. Krok 1. Dane i rysunek
  3. Trójkąt równoramienny o podstawie x i wysokości h ; okrąg wpisany ma promień r = 3 (połowa średnicy 6 ).
  4. r = 3, h = ?, P = 1 2 xh
  5. Krok 2. Wysokość h(x)
  6. Dla okręgu wpisanego r = 2P L , gdzie L to obwód. Ramię trójkąta ma długość h^2 + ( x 2 )^2 .
  7. 3 = 2 1 2 xh , x + 2 h^2 + x^2 4 ,
  8. promień okręgu wpisanego to podwojone pole podzielone przez obwód; podstawiamy P= 1 2 xh oraz L = x + 2 ę
  9. 3 ( x + 2 h^2 + x^2 4 ) = xh
  10. mnożymy na krzyż, a następnie zostawiamy pierwiastek po jednej stronie i podnosimy obie strony do kwadratu
  11. h = 6x^2 x^2 - 36
  12. po uproszczeniu w liczniku pojawia się średnica 2r = 6 , a w mianowniku różnica x^2 - 36 (gdzie 36 = 6^2 )
  13. h = 6x^2 x^2 - 36
  14. Krok 3. Pole P(x)
  15. P = 1 2 x h = 1 2 x 6x^2 x^2 - 36
  16. wstawiamy wyznaczoną wysokość do wzoru na pole trójkąta
  17. P(x) = 3x^3 x^2 - 36

Zadanie 12.2: najmniejsze pole przez pochodną

  1. Warunkiem minimum jest zmiana znaku pochodnej z - na + . Sam fakt P'(6 3 ) = 0 nie wystarcza - dlatego badamy znak po obu stronach.
  2. Krok 1. Pochodna P'(x)
  3. Reguła ilorazu dla u = 3x^3 , v = x^2 - 36 : u' = 9x^2 , v' = 2x .
  4. P' = u' ,v - u ,v' v^2
  5. pochodna licznika razy mianownik minus licznik razy pochodna mianownika, całość przez kwadrat mianownika
  6. P' = 9x^2 (x^2 - 36 ) - 3x^3 2x (x^2 - 36 )^2
  7. w liczniku wyraz x^4 redukuje się częściowo, a z reszty wyłączamy wspólny czynnik 3x^2
  8. P'(x) = 3x^2 (x^2 - 108 ) (x^2 - 36 )^2
  9. Krok 2. Miejsce zerowe w dziedzinie
  10. Mianownik i 3x^2 są dodatnie na (6, 12] , więc znak P' zależy tylko od czynnika x^2 - 108 .
  11. x^2 - 108 = 0
  12. przyrównujemy do zera jedyny czynnik mogący zmienić znak; bierzemy pierwiastek dodatni, bo x to długość
  13. x^2 = 108
  14. 108 = 3 36 = 36^2 , więc pierwiastek wyciąga się do postaci 6 3
  15. x = 6 3
  16. Krok 3. Znak P' i wniosek
  17. Czynnik x^2 - 108 zmienia znak w 6 3 : ujemny wcześniej, dodatni później.
  18. P' #E53A3A
  19. dla x mniejszych od 6 3 czynnik x^2 - 108 jest ujemny, więc funkcja P maleje
  20. P' > 0 na (6 3 , 12 ]
  21. dla x większych od 6 3 czynnik jest dodatni, więc P rośnie - z malejącej na rosnącą przechodzi w minimum
  22. minimum w x = 6 3
  23. Krok 4. Najmniejsze pole
  24. Wstawiamy x = 6 3 do wzoru na P . Wtedy x^2 = 108 , a wysokość wynosi h = 9 .
  25. P (6 3 ) = 3 ( #E53A3A 6 3 )^3 108 - 36
  26. w mianowniku x^2 - 36 = 108 - 36 = 72 ; licznik zawiera (6 3 )^3
  27. P_ = 27 3

Najczęstsza pomyłka 12.2: uznanie, że skoro P'(6 3 ) = 0 , to od razu jest tam minimum - bez sprawdzenia znaku po obu stronach można równie dobrze trafić na maksimum lub punkt przegięcia. Druga pułapka: szukanie ekstremum na krańcu 12 dziedziny zamiast wewnątrz.

Dziedzina zaczyna się od x > 6 , bo dla x 6 mianownik x^2 - 36 nie jest dodatni i trójkąt z okręgiem wpisanym o promieniu 3 nie istnieje. Miejsce zerowe 6 3 10.39 leży wewnątrz (6, 12] , więc minimum jest osiągane.