Pochodna ilorazu z parametrem

Funkcja f jest określona wzorem f(x)= ax^2-3x-6 x-2 dla każdej liczby rzeczywistej x `≠ 2 . Wyznacz wszystkie wartości a , dla których pochodna funkcji f w punkcie x=a+1 jest równa 1 2 a .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: reguła ilorazu, równanie w a , faktoryzacja

  1. Warunek zadania sprowadza się do równania trzeciego stopnia w parametrze a - z faktoryzacji zostaje dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty, bo kwadratowy czynnik ma < 0 .
  2. Krok 1. Funkcja i warunek
  3. Szukamy wszystkich a , dla których pochodna w punkcie x=a+1 ma zadaną wartość.
  4. f(x) = ax^2-3x-6 x-2 , f' (a+1 ) = 1 2 a
  5. Krok 2. Pochodna f'(x)
  6. u = ax^2-3x-6 , v = x-2 , więc u' = 2ax-3 , v' = 1 .
  7. ( u v )' = u' ,v - u ,v' v^2
  8. wzór na pochodną ilorazu: pochodna licznika razy mianownik MINUS licznik razy pochodna mianownika, całość przez kwadrat mianownika
  9. f'(x) = (2ax-3 ) (x-2 ) - (ax^2-3x-6 ) 1 (x-2 )^2
  10. parametr a traktujemy jak stałą - pochodna liczona jest po x
  11. f'(x) = 2ax^2-4ax-3x+6 ;- , ax^2+3x+6 (x-2 )^2
  12. wyrazy z samym x ( -3x i +3x ) znoszą się, kwadraty odejmują się do ax^2 , a stałe zwijają się w jeden wyraz wolny
  13. f'(x) = ax^2-4ax+12 (x-2 )^2
  14. Krok 3. Równanie z warunku
  15. Podstawiamy x = a+1 i mnożymy przez kwadrat mianownika.
  16. f' ( a+1 ) = 1 2 a
  17. punkt x=a+1 należy do dziedziny, więc (a-1 )^2 > 0 i mnożenie obu stron nie zmienia zbioru rozwiązań; przy współczynniku połówkowym mnożymy dodatkowo przez 2
  18. a^3-2a^2-7a+24 = 0
  19. Krok 4. Rozwiązanie równania
  20. Wielomian trzeciego stopnia rozkładamy na czynnik liniowy i trójmian.
  21. (a+3) ( a^2-5a+8 ) = 0
  22. pierwiastek całkowity zgadujemy wśród dzielników wyrazu wolnego, dzielimy wielomian przez czynnik liniowy; trójmian w nawiasie ma ujemny wyróżnik, więc nie daje żadnych pierwiastków rzeczywistych
  23. a = -3

Odwrócenie kolejności w regule ilorazu - policzenie uv' - u'v v^2 zamiast u'v - uv' v^2 zmienia znak całego licznika pochodnej i prowadzi do równania z przeciwnymi znakami. Drugi częsty błąd: pomnożenie prawej strony przez (a-1 ) zamiast przez (a-1 )^2 .

Ujemna delta trójmianu a^2-5a+8 oznacza tylko tyle, że TEN czynnik nie ma pierwiastków - całe równanie wciąż ma rozwiązanie a = -3 z czynnika liniowego. Wniosek " < 0 , więc brak rozwiązań" byłby poprawny tylko wtedy, gdyby trójmian był całym równaniem.