Wykaż nierówność sześcianu

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y takich, że y `≠ 4 9 x , prawdziwa jest nierówność (4x+9y)^3 > 576x^2y + 1296xy^2 .

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: różnica, rozkład na czynniki, znak

  1. Kluczowe jest założenie y `≠ 4 9 x - bez niego kwadrat mógłby być równy zero i nierówność nie byłaby ostra.
  2. Krok 1. Teza dowodu
  3. dla x,y>0 takich, że y `≠ 4 9 x
  4. (4x+9y)^3 > 576x^2y + 1296xy^2
  5. Krok 2. Różnica lewej i prawej strony
  6. (4x+9y)^3 - (576x^2y + 1296xy^2)
  7. rozwijamy sześcian sumy wzorem dwumianu Newtona i odejmujemy prawą stronę nierówności
  8. 64x^3 - 144x^2y - 324xy^2 + 729y^3
  9. Krok 3. Rozkład różnicy na czynniki
  10. 64x^3 - 144x^2y - 324xy^2 + 729y^3
  11. różnicę zapisujemy jako iloczyn kwadratu różnicy i sumy tych samych dwóch wyrażeń
  12. (4x-9y)^2(4x+9y)
  13. Krok 4. Znak iloczynu i wniosek
  14. (4x-9y)^2 > 0
  15. kwadrat liczby różnej od zera jest zawsze dodatni, a założenie wyklucza równość tych wyrażeń
  16. 4x+9y > 0
  17. suma dwóch liczb dodatnich jest dodatnia
  18. (4x-9y)^2(4x+9y) > 0
  19. iloczyn dwóch liczb dodatnich jest dodatni
  20. (4x+9y)^3 > 576x^2y + 1296xy^2

Częsty błąd: zapisanie (4x-9y)^2 0 i pominięcie uzasadnienia ostrości nierówności - bez odwołania się do założenia y `≠ 4 9 x kwadrat mógłby wynosić zero, a dowód nie byłby kompletny. Drugi typowy błąd: pominięcie współczynnika 3 przy rozwijaniu sześcianu sumy wzorem dwumianu Newtona.