Nierówność dwóch zmiennych (dowód SOS)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność xy + 2x + 2y ≤ x^2 + y^2 + 4.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: suma kwadratów (SOS)
- Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie trzy kwadraty są zerami jednocześnie, czyli dla x = 2;oraz; y = 2.
- Krok 1. Teza
- Nierówność ma zachodzić dla każdych x, y R.
- xy + 2x + 2y;≤; x^2 + y^2 + 4
- Krok 2. Przekształcenie równoważne
- Przenosimy wszystko na jedną stronę i domykamy pełne kwadraty.
- x^2 + y^2 + 4;-; xy - 2x - 2y;≥; 0
- po przeniesieniu lewej strony na prawą wystarczy wykazać, że różnica jest nieujemna; mnożymy przez 2, żeby dało się domknąć pełne kwadraty
- 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 4x - 4y + 8;≥; 0
- rozdzielamy 2x^2 i 2y^2 po jednym kwadracie do trzech grup - każda grupa dostanie komplet wyrazów pełnego kwadratu
- ≤ft(x^2 - 2xy + y^2) + ≤ft(x^2 - 4x + 4) + ≤ft(y^2 - 4y + 4);≥; 0
- każdy nawias to wzór skróconego mnożenia - zwijamy trzy pełne kwadraty
- (x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y - 2)^2;≥; 0
- Krok 3. Wniosek
- Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
- (x - y)^2 ≥ 0, (x - 2)^2 ≥ 0, (y - 2)^2 ≥ 0
- suma trzech liczb nieujemnych jest nieujemna, więc przekształcona nierówność zachodzi dla wszystkich x, y - a była równoważna tezie
- xy + 2x + 2y;≤; x^2 + y^2 + 4;;
Próba rozkładu bez pomnożenia przez 2 - z x^2 + y^2 + 4 - xy - 2x - 2y nie da się zbudować pełnych kwadratów o całkowitych współczynnikach, bo wyraz mieszany -xy wymaga połówek. Dopiero podwojenie daje -2xy i komplet wyrazów do trzech kwadratów.
To standardowa metoda SOS (sum of squares): nierówność W ≥ 0 dowodzimy, zapisując W (lub 2W) jako sumę kwadratów. Punkt równości odczytujemy, zerując każdy kwadrat osobno: x = y, x = 2, y = 2 dają łącznie x = 2;oraz; y = 2.