Nierówność dwóch zmiennych (dowód SOS)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność xy + 2x + 2y x^2 + y^2 + 4.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: suma kwadratów (SOS)

  1. Równość zachodzi tylko wtedy, gdy wszystkie trzy kwadraty są zerami jednocześnie, czyli dla x = 2 ;oraz ; y = 2 .
  2. Krok 1. Teza
  3. Nierówność ma zachodzić dla każdych x, y R .
  4. xy + 2x + 2y ; ; x^2 + y^2 + 4
  5. Krok 2. Przekształcenie równoważne
  6. Przenosimy wszystko na jedną stronę i domykamy pełne kwadraty.
  7. x^2 + y^2 + 4 ;- ; xy - 2x - 2y ; ; 0
  8. po przeniesieniu lewej strony na prawą wystarczy wykazać, że różnica jest nieujemna; mnożymy przez 2 , żeby dało się domknąć pełne kwadraty
  9. 2x^2 + 2y^2 - 2xy - 4x - 4y + 8 ; ; 0
  10. rozdzielamy 2x^2 i 2y^2 po jednym kwadracie do trzech grup - każda grupa dostanie komplet wyrazów pełnego kwadratu
  11. (x^2 - 2xy + y^2 ) + (x^2 - 4x + 4 ) + (y^2 - 4y + 4 ) ; ; 0
  12. każdy nawias to wzór skróconego mnożenia - zwijamy trzy pełne kwadraty
  13. (x - y)^2 + (x - 2)^2 + (y - 2)^2 ; ; 0
  14. Krok 3. Wniosek
  15. Kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny.
  16. (x - y)^2 0, (x - 2)^2 0, (y - 2)^2 0
  17. suma trzech liczb nieujemnych jest nieujemna, więc przekształcona nierówność zachodzi dla wszystkich x, y - a była równoważna tezie
  18. xy + 2x + 2y ; ; x^2 + y^2 + 4 ; ;

Próba rozkładu bez pomnożenia przez 2 - z x^2 + y^2 + 4 - xy - 2x - 2y nie da się zbudować pełnych kwadratów o całkowitych współczynnikach, bo wyraz mieszany -xy wymaga połówek. Dopiero podwojenie daje -2xy i komplet wyrazów do trzech kwadratów.

To standardowa metoda SOS (sum of squares): nierówność W 0 dowodzimy, zapisując W (lub 2W ) jako sumę kwadratów. Punkt równości odczytujemy, zerując każdy kwadrat osobno: x = y , x = 2 , y = 2 dają łącznie x = 2 ;oraz ; y = 2 .