Dowód nierówności wymiernej
Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej a i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej b prawdziwa jest nierówność 2 b^ 3 + 2 a^ 3 ≤ 2b a^ 4 + 2a b^ 4
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: przekształcenie równoważne i postać iloczynowa
- Iloczyn dwóch liczb o tym samym znaku jest nieujemny - stąd nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich a i b, co kończy dowód.
- Krok 1. Nierówność do wykazania
- założenie: a > 0 i b > 0
- 2 b^ 3 + 2 a^ 3 ≤ 2b a^ 4 + 2a b^ 4
- Krok 2. Postać iloczynowa
- 2 b^ 3 + 2 a^ 3 ≤ 2b a^ 4 + 2a b^ 4
- mnożymy obie strony przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności się nie zmienia - przekształcenie jest równoważne
- a b^ 4 + b a^ 4 ≤ a^ 5 + b^ 5
- przenosimy wszystkie składniki na jedną stronę - badamy znak różnicy prawej i lewej strony
- 0 ≤ #E53A3A a^ 5 - b a^ 4 + #E53A3A b^ 5 - a b^ 4
- grupujemy składniki parami i z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik
- 0 ≤ a^ 4 ( a - b) - b^ 4 ( a - b)
- wspólny nawias wyłączamy przed całe wyrażenie - otrzymujemy postać iloczynową
- ( a - b)≤ft( a^ 4 - b^ 4) ≥ 0
- Gdy a ≥ b
- a - b ≥ 0
- funkcja t^ 4 jest rosnąca dla t > 0, więc większa podstawa daje większą potęgę
- a^ 4 - b^ 4 ≥ 0
- Gdy a < b
- a - b < 0
- z tej samej monotoniczności mniejsza podstawa daje mniejszą potęgę - oba czynniki są ujemne
- a^ 4 - b^ 4 < 0
- Krok 3. Wniosek
- czynniki mają zawsze ten sam znak, więc ich iloczyn jest nieujemny
- ( a - b)≤ft( a^ 4 - b^ 4) ≥ 0;; 2 b^ 3 + 2 a^ 3 ≤ 2b a^ 4 + 2a b^ 4