Dowód nierówności wymiernej

Wykaż, że dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej x i dla każdej dodatniej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność x y^ 3 + y x^ 3 1 x^ 2 + 1 y^ 2

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: przekształcenie równoważne i postać iloczynowa

  1. Iloczyn dwóch liczb o tym samym znaku jest nieujemny - stąd nierówność zachodzi dla wszystkich dodatnich x i y , co kończy dowód.
  2. Krok 1. Nierówność do wykazania
  3. założenie: x > 0 i y > 0
  4. x y^ 3 + y x^ 3 1 x^ 2 + 1 y^ 2
  5. Krok 2. Postać iloczynowa
  6. x y^ 3 + y x^ 3 1 x^ 2 + 1 y^ 2
  7. mnożymy obie strony przez liczbę dodatnią, więc znak nierówności się nie zmienia - przekształcenie jest równoważne
  8. x y^ 3 + y x^ 3 x^ 4 + y^ 4
  9. przenosimy wszystkie składniki na jedną stronę - badamy znak różnicy prawej i lewej strony
  10. 0 #E53A3A x^ 4 - y x^ 3 + #E53A3A y^ 4 - x y^ 3
  11. grupujemy składniki parami i z każdej pary wyłączamy wspólny czynnik
  12. 0 x^ 3 ( x - y ) - y^ 3 ( x - y )
  13. wspólny nawias wyłączamy przed całe wyrażenie - otrzymujemy postać iloczynową
  14. ( x - y ) ( x^ 3 - y^ 3 ) 0
  15. Gdy x y
  16. x - y 0
  17. funkcja t^ 3 jest rosnąca dla t > 0 , więc większa podstawa daje większą potęgę
  18. x^ 3 - y^ 3 0
  19. Gdy x < y
  20. x - y < 0
  21. z tej samej monotoniczności mniejsza podstawa daje mniejszą potęgę - oba czynniki są ujemne
  22. x^ 3 - y^ 3 < 0
  23. Krok 3. Wniosek
  24. czynniki mają zawsze ten sam znak, więc ich iloczyn jest nieujemny
  25. ( x - y ) ( x^ 3 - y^ 3 ) 0 ; ; x y^ 3 + y x^ 3 1 x^ 2 + 1 y^ 2