Równanie trygonometryczne przez faktoryzację

Rozwiązanie krok po kroku

Tożsamość podwojonego kąta → postać iloczynowa → rozwiąż oba czynniki

1. Klucz: tożsamość podwojonego kąta ($\sin 2x=2\sin \mathsf{x}\cos \mathsf{x}$) sprowadza równanie do kwadratowego względem jednej funkcji. Postać iloczynowa $(2\sin \mathsf{x}+1)(2\cos \mathsf{x}-1)=0$ rozbija je na dwa niezależne równania - suma ich rozwiązań to pełny zbiór rozwiązań.
2. Krok 1 (a). Usuń podwojony kąt
3. tożsamość: $\sin 2x=2\sin \mathsf{x}\cos \mathsf{x}$
4. $-\sin \mathsf{x}+\cos \mathsf{x}+\sin 2x=\frac{1}{2}$
5. składnik $\sin 2x$ zastępujemy tożsamością $\sin 2x=2\sin \mathsf{x}\cos \mathsf{x}$ - zostają tylko funkcje kąta $\mathsf{x}$
6. $-\sin \mathsf{x}+\cos \mathsf{x}+2\sin \mathsf{x}\cos \mathsf{x}=\frac{1}{2}$
7. Krok 2 (b). Postać iloczynowa
8. przenieś wszystko na lewo i rozłóż na czynniki
9. $(2\sin \mathsf{x}+1)(2\cos \mathsf{x}-1)=0$
10. po uporządkowaniu wyrażenie kwadratowe rozkłada się na iloczyn dwóch czynników liniowych względem funkcji trygonometrycznej
11. $\boxed{(2\sin x+1)(2\cos x-1)=0}$
12. Krok 3 (c). Pierwszy czynnik
13. $2\sin \mathsf{x}+1=0$
14. iloczyn jest zerem, gdy zeruje się choć jeden czynnik - rozwiązujemy pierwszy
15. $\boxed{\mathbf{x}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{lub}\mathbf{x}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi ,\mathbf{k}\in \mathbb{Z}}$
16. Krok 4 (d). Drugi czynnik
17. $2\cos \mathsf{x}-1=0$
18. drugi czynnik daje pozostałe rozwiązania
19. $\boxed{\mathbf{x}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ,\mathbf{k}\in \mathbb{Z}}$
20. Rozwiązania równania
21. suma rozwiązań obu czynników
22. $\mathsf{x}=-\frac{\pi }{6}+2k\pi \text{lub}\mathsf{x}=\frac{7\pi }{6}+2k\pi \text{lub}\mathsf{x}=\pm \frac{\pi }{3}+2k\pi ,\mathsf{k}\in \mathbb{Z}$

Najczęstsze pomyłki: (1) błędna tożsamość podwojonego kąta (np. $\cos 2x=2{\sin }^2\mathsf{x}-1$ zamiast $1-2{\sin }^2\mathsf{x}$); (2) rozwiązanie tylko jednego czynnika i pominięcie drugiego; (3) błąd znaku pierwiastka lub pominięcie ograniczenia dziedziny - odpowiedź musi zgadzać się z podanym przedziałem.