Rozwiąż równanie jednorodne

Rozwiązanie krok po kroku

Wzory podwójnego kąta i tangens

1. Krok 1. Równanie
2. szukamy $\mathsf{x}\in ⟨0,360^{\circ }⟩$
3. $-2{\cos }^2\mathsf{x}+4\sqrt{3}\sin \mathsf{x}\cos \mathsf{x}+2{\sin }^2\mathsf{x}=0$
4. Krok 2. Podwojony kąt
5. $-2{\cos }^2\mathsf{x}+4\sqrt{3}\sin \mathsf{x}\cos \mathsf{x}+2{\sin }^2\mathsf{x}=0$
6. część kwadratowa zwija się do cosinusa, a wyraz mieszany do sinusa podwojonego kąta
7. $\boxed{-2\cos 2x+2\sqrt{3}\sin 2x=0}$
8. Krok 3. Dzielenie przez cosinus
9. $-2\cos 2x+2\sqrt{3}\sin 2x=0$
10. gdyby $\cos 2x$ było zerem, to z równania zerowałby się także $\sin 2x$, a obie funkcje nie zerują się dla tego samego kąta
11. $-2+2\sqrt{3}\mathrm{tg}2x=0$
12. zostaje równanie z jedną funkcją
13. $\boxed{\mathrm{tg}2x=\frac{\sqrt{3}}{3}}$
14. Krok 4. Rozwiązania
15. $\mathrm{tg}2x=\frac{\sqrt{3}}{3}$
16. tangens ma okres $\pi$, więc kolejne rozwiązania różnią się o jego wielokrotność
17. $2x=-150^{\circ }+\mathsf{k}\cdot 180^{\circ }$
18. dzielimy przez współczynnik przy $\mathsf{x}$
19. $\boxed{x=-75^{\circ }+k\cdot 90^{\circ }}$
20. zostawiamy te $\mathsf{k}$, dla których $\mathsf{x}$ wpada do przedziału $⟨0,360^{\circ }⟩$
21. $\boxed{15^{\circ },105^{\circ },195^{\circ },285^{\circ }}$