Rozwiąż równanie z ułamkiem

Rozwiązanie krok po kroku

Dziedzina, licznik równy zero i odrzucenie rozwiązań

1. Dane
2. $\frac{\sin 2x-\sqrt{2}\sin \mathsf{x}}{{\sin }^2\mathsf{x}}=0,\mathsf{x}\in ⟨0;2\pi ⟩$
3. Krok 1. Dziedzina
4. ${\sin }^2\mathsf{x}\ne 0$
5. Kwadrat liczby jest równy zero tylko wtedy, gdy ta liczba jest zerem.
6. $\sin \mathsf{x}\ne 0$
7. Wykluczamy zera sinusa z podanego przedziału.
8. $\mathsf{x}\ne 0,\pi ,2\pi$
9. Dziedzina to podany przedział bez tych punktów.
10. $\mathsf{D}=\boxed{\left(0;\pi \right)\cup \left(\pi ;2\pi \right)}$
11. Krok 2. Licznik równy zero
12. $\frac{\sin 2x-\sqrt{2}\sin \mathsf{x}}{{\sin }^2\mathsf{x}}=0$
13. W dziedzinie mianownik jest różny od zera, więc ułamek jest równy zero dokładnie wtedy, gdy licznik jest równy zero.
14. $\sin 2x-\sqrt{2}\sin \mathsf{x}=0$
15. Ze wzoru $\sin 2x=2\sin \mathsf{x}\cos \mathsf{x}$ w obu składnikach występuje czynnik $\sin \mathsf{x}$.
16. $\sin \mathsf{x}\left(2\cos \mathsf{x}-\sqrt{2}\right)=0$
17. Iloczyn jest równy zero, gdy jeden z czynników jest równy zero.
18. $\sin \mathsf{x}=0\vee 2\cos \mathsf{x}-\sqrt{2}=0$
19. W drugim czynniku przenosimy wyraz wolny na prawą stronę i wyznaczamy wartość funkcji.
20. $\boxed{\sin x=0\vee \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}}$
21. Krok 3. Rozwiązania w przedziale
22. $\sin \mathsf{x}=0$
23. Miejsca zerowe funkcji w podanym przedziale.
24. $\mathsf{x}\in \left\{0,\pi ,2\pi \right\}$
25. Drugi czynnik: szukamy kątów z przedziału, w których wykres przecina prostą $\mathsf{y}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
26. $\mathsf{x}\in \left\{\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right\}$
27. Łączymy rozwiązania obu czynników.
28. $\mathsf{x}\in \boxed{\left\{0,\pi ,2\pi ,\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right\}}$
29. Krok 4. Rozwiązania należące do dziedziny
30. $\mathsf{x}\in \left\{0,\pi ,2\pi ,\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right\}$
31. Zera funkcji $\sin \mathsf{x}$ zerują mianownik, więc nie należą do dziedziny i je odrzucamy.
32. $\mathsf{x}\in \boxed{\left\{\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}\right\}}$

Pozostawienie w odpowiedzi kątów, w których zeruje się mianownik: licznik jest tam równy zero, ale te kąty nie należą do dziedziny równania.