Oblicz kąt ze stosunku pól

Rozwiązanie krok po kroku

Stosunek pól sprowadzony do jednego kąta

1. Pola przez sinusy
2. $\alpha =|\angle \mathsf{DAC}|$, $\beta =|\angle \mathsf{BAD}|$, $\alpha +\beta =150^{\circ }$
3. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABD}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot |\mathsf{AB}|\cdot |\mathsf{AD}|\cdot \sin \beta }{\frac{1}{2}\cdot |\mathsf{AC}|\cdot |\mathsf{AD}|\cdot \sin \alpha }$
4. Oba trójkąty mają wspólny bok $\mathsf{AD}$, a ramiona $\mathsf{AB}$ i $\mathsf{AC}$ są równe, więc skracają się.
5. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABD}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}}=\boxed{\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }}$
6. Od odcinków do pól
7. $\frac{|\mathsf{BD}|}{|\mathsf{DC}|}$
8. Trójkąty $\mathsf{ABD}$ i $\mathsf{ADC}$ mają tę samą wysokość opuszczoną z wierzchołka $\mathsf{A}$, więc ich pola są proporcjonalne do podstaw.
9. $\frac{|\mathsf{BD}|}{|\mathsf{DC}|}=\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABD}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}}=\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }$
10. Odwróć daną
11. $\frac{\sin \alpha }{\sin \beta }=1+\sqrt{3}$
12. Dana opisuje stosunek w odwrotnej kolejności, niż potrzebny do równania.
13. $\frac{\sin \beta }{\sin \alpha }=\boxed{\frac{\sqrt{3}-1}{2}}$
14. Jedna niewiadoma zamiast dwóch
15. $\frac{\sin (150^{\circ }-\alpha )}{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
16. Z sumy kątów przy wierzchołku $\mathsf{A}$ mamy $\beta =150^{\circ }-\alpha$, więc zostaje jedna niewiadoma.
17. $\frac{\sin 150^{\circ }\cos \alpha -\cos 150^{\circ }\sin \alpha }{\sin \alpha }=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
18. $\sin \alpha >0$, bo $\alpha$ jest kątem trójkąta, więc dzielenie jest dozwolone.
19. $\sin 150^{\circ }\cdot \mathrm{ctg}\alpha -\cos 150^{\circ }=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$
20. Iloraz $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ to cotangens kąta $\alpha$.
21. $\mathrm{ctg}\alpha =\frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\boxed{-1}$
22. W przedziale kątów trójkąta cotangens jest różnowartościowy, więc rozwiązanie jest dokładnie jedno.
23. $\alpha =\boxed{135^{\circ }}$
24. Twierdzenie sinusów w trójkącie $\mathsf{ABD}$
25. $|\angle \mathsf{BAD}|=15^{\circ }$, $|\angle \mathsf{ADB}|=150^{\circ }$
26. $\frac{|\mathsf{BD}|}{\sin 15^{\circ }}=\frac{10}{\sin 150^{\circ }}$
27. Naprzeciw boku $\mathsf{BD}$ leży kąt $\mathsf{BAD}$, a naprzeciw ramienia $\mathsf{AB}$ kąt $\mathsf{ADB}$.
28. $|\mathsf{BD}|=\frac{10\cdot \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}{\frac{1}{2}}=\boxed{5\sqrt{6}-5\sqrt{2}}$

Przyrównanie stosunku pól do stosunku ramion. Ramiona $\mathsf{AB}$ i $\mathsf{AC}$ są równe, ale pola części równe nie są, bo decyduje o nich sinus kąta przy wierzchołku $\mathsf{A}$.