Rozwiąż równanie przez iloczyn

Rozwiązanie krok po kroku

Zamiana sumy na iloczyn

1. Mnożniki $2$, $8$ i $6$ tworzą ciąg arytmetyczny, dlatego suma składników skrajnych ma ten sam czynnik co składnik środkowy.
2. Postać iloczynowa
3. najpierw przenosimy wszystko na lewą stronę
4. $\sin (2x)-\sin (8x)+\sin (6x)=0$
5. półsuma mnożników skrajnych składników to $4$, a połowa ich różnicy to $2$
6. $2\sin (4x)\cos (2x)-\sin (8x)=0$
7. $2\sin (4x)\cos (2x)-2\sin (4x)\cos (4x)=0$
8. oba składniki mają ten sam czynnik
9. $2\sin (4x)\left[\cos (2x)-\cos (4x)\right]=0$
10. nawias przekształcamy tym samym wzorem, dla mnożników $2$ i $4$
11. $\boxed{4\sin (4x)\sin (3x)\sin (x)=0}$
12. Rodziny rozwiązań
13. $\sin (4x)=0\vee \sin (3x)=0\vee \sin (\mathsf{x})=0$
14. iloczyn jest zerem, gdy zeruje się co najmniej jeden czynnik; z każdego równania wyznaczamy $\mathsf{x}$, dzieląc przez mnożnik argumentu
15. $\mathsf{x}=\frac{\mathsf{k}\pi }{4}\vee \mathsf{x}=\frac{\mathsf{k}\pi }{3}\vee \mathsf{x}=\mathsf{k}\pi ,\mathsf{k}\in \mathbb{Z}$
16. Zera w przedziale
17. $\cos (\mathsf{mx})$ ma $\mathsf{m}$ zer w $⟨0,\pi ⟩$, $\sin (\mathsf{mx})$ ma $\mathsf{m}+1$ zer
18. $5+4+2=\boxed{11}$
19. argument będący zerem dwóch czynników należy do zbioru rozwiązań tylko raz
20. $\boxed{7}$
21. Liczba rozwiązań
22. $\boxed{7}$

Zbiór zer każdego czynnika nie zmienia się przy podstawieniu $\mathsf{x}\to \pi -\mathsf{x}$, więc rozwiązania leżą symetrycznie wokół $\frac{\pi }{2}$. Argument będący zerem dwóch czynników naraz trafia do zbioru tylko <strong>raz</strong>.