Losowanie wielokrotności

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczne: $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\frac{|\mathsf{A}|}{|\mathsf{\Omega }|}$

1. Najczęstsza pomyłka w tym kroku: pisanie $89$ (zapomniany $+1$) albo $99$ (mylenie z liczbą wszystkich liczb od $1$ do $99$). Liczb dwucyfrowych jest dokładnie $90$.
2. Krok 1. Co losujemy i czego szukamy
3. $\mathsf{\Omega }$ - wszystkie dwucyfrowe; $\mathsf{A}$ - te, które są wielokrotnością $93$.
4. $\mathsf{\Omega }=\{10,11,12,\dots ,99\}\mathsf{A}=\{\text{wielokrotnosˊci }93\text{ w }\mathsf{\Omega }\}$
5. Krok 2. Liczba wszystkich wyników $|\mathsf{\Omega }|$
6. Liczb dwucyfrowych jest tyle, ile liczb całkowitych od $10$ do $99$ włącznie.
7. $|\mathsf{\Omega }|=99-10+1$
8. wzór na liczbę liczb całkowitych w przedziale: $\mathsf{b}-\mathsf{a}+1$ (z plusem $1$, żeby uwzględnić oba końce)
9. $|\mathsf{\Omega }|=\boxed{90}$

1. Sprawdzenie obu brzegów ratuje przed dwoma typowymi błędami: doliczeniem wartości $>99$ (skok do $\frac{2}{90}$) i pominięciem pierwszej wielokrotności (spadek do $\frac{1}{90}$).
2. Krok 3. Liczba sprzyjających $|\mathsf{A}|$
3. Wypisujemy wielokrotności $93$: $1\cdot 93,2\cdot 93,3\cdot 93,\dots$ i bierzemy tylko te z przedziału $[10,99]$.
4. $1\cdot 93=93$
5. pierwsza wielokrotność $93$ - sprawdzamy, czy mieści się w zakresie dwucyfrowych
6. $2\cdot 93=186$
7. kolejna wielokrotność - dopóki wynik nie przekroczy $99$, dopisujemy do listy
8. $(2)\cdot 93=186>99$
9. ten iloczyn wychodzi poza zakres dwucyfrowych - zatrzymujemy się i tej wartości NIE liczymy do $\mathsf{A}$
10. $|\mathsf{A}|=\boxed{1}$

1. Schemat klasyczny działa, bo każda dwucyfrowa liczba ma taką samą szansę wylosowania - dlatego prawdopodobieństwo to dosłownie udział sprzyjających wśród wszystkich.
2. Krok 4. Prawdopodobieństwo zdarzenia $\mathsf{A}$
3. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\frac{|\mathsf{A}|}{|\mathsf{\Omega }|}=\frac{1}{90}$
4. do wzoru klasycznego wstawiamy liczby z kroków 2 i 3
5. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\boxed{\frac{1}{90}}$

Zły mianownik: $89$ (pomyłka $99-10$ bez $+1$), $91$ (próba <em>od $9$ do $99$</em>) albo $99$ (mylenie z liczbą wszystkich liczb do $99$).<br><br>Test: wypisz brzegi - $10,11,\dots ,99$ to ciąg o $99-10+1=90$ wyrazach. Zawsze $+1$, bo oba końce wliczamy.

Wielokrotności liczy się od $1\cdot \mathsf{n}$, nie od $\mathsf{n}$ w przedziale $[1,99]$. Jeśli ktoś weźmie wszystkie wielokrotności do $99$ (czyli $\lfloor 99/n\rfloor$), policzy też te jednocyfrowe i wynik wyjdzie za duży. Filtr <em>$\ge 10$</em> jest kluczowy.