Iloczyn kolejnych wyrazów ciągu

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: warunek na pozycje wielokrotności

1. Klucz do zadania: warunek o iloczynie tłumaczymy na warunek o pozycjach wielokrotności liczby 3, a potem rozdzielamy zliczanie na układ pozycji i permutacje wewnątrz grup.
2. Krok 1. Model losowania
3. Losujemy bez zwracania wszystkie $7$ liczb, więc wynik doświadczenia to ustawienie całego zbioru $\{3,4,5,\dots ,9\}$ w ciąg. Każda kolejność jest jednakowo prawdopodobna, dlatego stosujemy model klasyczny: $|\mathsf{\Omega }|$ to liczba wszystkich możliwych ustawień - pierwszą liczbę wybieramy na $7$ sposobów, drugą z pozostałych, itd., co daje $7!$.
4. $|\mathsf{\Omega }|=7!=5040$
5. Krok 2. Warunek na pozycje
6. Tłumaczymy warunek o iloczynie na warunek o pozycjach. Na schemacie: kolorowe pola to pozycje wielokrotności liczby $3$, a każde szare pole to przerwa, w której zmieści się co najwyżej $2$ spośród pozostałych liczb (przerwa może też zostać pusta).
7. $\text{wielokrotnosˊci }3\text{ w zbiorze: }3,6,9$
8. czynnik $3$ w iloczynie może pochodzić wyłącznie z tych liczb - iloczyn trzech kolejnych wyrazów dzieli się przez $3$ dokładnie wtedy, gdy wśród tych trzech wyrazów stoi co najmniej jedna wielokrotność liczby $3$
9. $\text{wsˊroˊd kaz˙dych }3\text{ kolejnych wyrazoˊw co najmniej jedna wielokrotnosˊcˊ}$
10. gdyby w którejś przerwie (między sąsiednimi wielokrotnościami, przed pierwszą albo za ostatnią) stanęło $3$ lub więcej pozostałych liczb, to istniałoby okno $3$ kolejnych wyrazów bez żadnej wielokrotności - iloczyn tego okna nie dzieliłby się przez $3$; dlatego każda przerwa mieści co najwyżej $2$ liczb
11. $\boxed{\text{kaz˙da z }4\text{ przerw miesˊci}\le 2\text{ liczb}}$
12. Krok 3. Zliczamy sprzyjające
13. Ciąg sprzyjający budujemy w trzech niezależnych decyzjach: wybieramy układ pozycji wielokrotności, potem rozmieszczamy na nich konkretne wielokrotności, a na końcu pozostałe liczby - i mnożymy liczby możliwości (reguła mnożenia).
14. $\text{układy pozycji wielokrotnosˊci: }19$
15. układ pozycji to podział $4$ pozostałych liczb na $4$ przerw ze schematu z kroku 2, przy czym żadna przerwa nie może dostać więcej niż $2$ liczb (przerwa może być pusta) - takich podziałów jest dokładnie $19$
16. $|\mathsf{A}|=19\cdot 3!\cdot 4!$
17. układ mówi tylko, które pozycje zajmą wielokrotności - na tych pozycjach $3$ konkretnych wielokrotności ustawiamy na $3!$ sposobów, a $4$ pozostałych liczb na wolnych pozycjach na $4!$ sposobów; decyzje są niezależne, więc liczby możliwości mnożymy
18. $|\mathsf{A}|=19\cdot 6\cdot 24=\boxed{2736}$
19. Krok 4. Prawdopodobieństwo
20. Model klasyczny: dzielimy liczbę ciągów sprzyjających przez liczbę wszystkich możliwych ciągów.
21. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\frac{|\mathsf{A}|}{|\mathsf{\Omega }|}=\frac{2736}{5040}$
22. licznik i mianownik dzielimy przez ich największy wspólny dzielnik $\mathrm{NWD}(2736,5040)=144$
23. $\mathsf{P}(\mathsf{A})=\boxed{\frac{19}{35}}$

Zapomnienie któregoś z trzech czynników w $|\mathsf{A}|=\mathsf{W}\cdot \mathsf{m}!\cdot (\mathsf{n}-\mathsf{m})!$. Zliczenie samych układów pozycji ($\mathsf{W}$) to za mało - trzeba jeszcze policzyć, na ile sposobów można powstawiać konkretne liczby w te miejsca: wielokrotności na swoje pozycje ($\mathsf{m}!$ sposobów) i resztę liczb na pozostałe pozycje ($(\mathsf{n}-\mathsf{m})!$ sposobów). Każdy pominięty czynnik zaniża liczbę ciągów sprzyjających.