Wykaż podzielność kwadratu

Rozwiązanie krok po kroku

Rozwinięcie i wyłączenie dzielnika

1. Rozwiń kwadrat
2. $(2\mathsf{n}+9{)}^2+19$
3. Rozwijamy kwadrat dwumianu wzorem skróconego mnożenia.
4. $4{\mathsf{n}}^2+36n+81+19$
5. Dodajemy wyrazy wolne.
6. $\boxed{4n^2+36n+100}$
7. Wyłącz dzielnik przed nawias
8. $4{\mathsf{n}}^2+36n+100$
9. Z wyrazu wolnego wydzielamy największą wielokrotność liczby 4.
10. $4{\mathsf{n}}^2+36n+4\cdot 25$
11. Liczby 4 i 36 dzielą się przez 4, więc wyłączamy 4 przed nawias.
12. $4\left({\mathsf{n}}^2+9n+25\right)$
13. Wniosek
14. $\mathsf{k}={\mathsf{n}}^2+9n+25\in \mathbb{Z}\Rightarrow \boxed{4k}$

Kwadrat liczby nieparzystej

1. Nawias jest nieparzysty
2. $2\mathsf{n}+9=2t+1,\mathsf{t}=\mathsf{n}+4$
3. Kwadrat liczby nieparzystej
4. $(2t+1{)}^2$
5. Rozwijamy kwadrat sumy.
6. $4{\mathsf{t}}^2+4t+1$
7. Oba wyrazy z t mają wspólny czynnik 4t.
8. $4\mathsf{t}(\mathsf{t}+1)+1$
9. Liczby t i t + 1 są kolejnymi liczbami całkowitymi, więc jedna z nich jest parzysta.
10. $\boxed{8\cdot \frac{t(t+1)}{2}+1}$
11. Dodaj stałą
12. $8\cdot \frac{\mathsf{t}(\mathsf{t}+1)}{2}+1+19$
13. Dodajemy wyrazy wolne.
14. $8\cdot \frac{\mathsf{t}(\mathsf{t}+1)}{2}+20$
15. Z wyrazu wolnego wydzielamy największą wielokrotność liczby 4.
16. $8\cdot \frac{\mathsf{t}(\mathsf{t}+1)}{2}+4\cdot 5$
17. Liczba 8 jest wielokrotnością liczby 4, więc wyłączamy 4 przed nawias.
18. $4\left(\mathsf{t}(\mathsf{t}+1)+5\right)$
19. Wniosek
20. $\mathsf{k}=\mathsf{t}(\mathsf{t}+1)+5\in \mathbb{Z}\Rightarrow \boxed{4k}$