Liczby z daną cyfrą użytą raz

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: zasada mnożenia z podziałem na przypadki

1. Warunek „dokładnie jeden raz" oznacza, że na pozostałych miejscach cyfra 8 pojawić się nie może - dlatego w każdym czynniku odrzucamy ją ze zbioru cyfr dopuszczalnych na danym miejscu.
2. Krok 1. Cyfry dopuszczalne na każdym miejscu
3. pierwsze miejsce: 10 cyfr, każde środkowe: 10 cyfr, ostatnie miejsce: 5 cyfr
4. $\underset{\text{I}}{\underbrace{\{0,1,\dots ,9\}}}\underset{\text{II}}{\underbrace{\{0,1,\dots ,9\}}}\underset{\text{III}}{\underbrace{\{0,1,\dots ,9\}}}\underset{\text{ost.}}{\underbrace{\{1,3,5,7,9\}}}$
5. Krok 2. Gdzie stoi cyfra 8
6. na pierwszym miejscu, na środkowym albo na ostatnim - te przypadki się wykluczają
7. $\mathsf{N}={\mathsf{N}}_1+{\mathsf{N}}_2+{\mathsf{N}}_3$
8. Cyfra 8 stoi na pierwszym miejscu: każdą ze środkowych cyfr wybieramy na 9 sposobów, a ostatnią na 5 - wszędzie odrzucamy 8.
9. ${\mathsf{N}}_1=1\cdot 9\cdot 9\cdot 5=\boxed{405}$
10. Cyfra 8 stoi na miejscu środkowym: cyfra 8 stoi na jednym z dwóch środkowych miejsc, druga środkowa ma 9 możliwości, pierwsza 9, ostatnia 5.
11. ${\mathsf{N}}_2=2\cdot 9\cdot 9\cdot 5=\boxed{810}$
12. Cyfra 8 stoi na ostatnim miejscu: cyfra 8 nie jest nieparzysta, więc nie może stać na ostatnim miejscu - ten przypadek nie daje żadnej liczby.
13. ${\mathsf{N}}_3=0=\boxed{0}$
14. Krok 3. Suma przypadków
15. $\mathsf{N}=405+810+0$
16. każda szukana liczba trafia do dokładnie jednego z trzech przypadków, więc wyniki sumujemy
17. $\mathsf{N}=\boxed{1215}$