Wykaż zależność odcinków

Rozwiązanie krok po kroku

Skala z wysokości, potem podobieństwo

1. Kąt przy wierzchołku A
2. $\alpha =|\sphericalangle \mathsf{BAC}|$
3. $\mathrm{tg}\alpha =\sqrt{3}\Rightarrow \alpha =\boxed{60^{\circ }}$
4. Skala podobieństwa
5. $\cos 60^{\circ }=\frac{|\mathsf{AC}|}{|\mathsf{AB}|}\Rightarrow |\mathsf{AC}|=\frac{1}{2}|\mathsf{AB}|$
6. W trójkącie prostokątnym $\mathsf{ADC}$ kąt przy $\mathsf{A}$ też ma miarę $\alpha$, więc $|\mathsf{AD}|=|\mathsf{AC}|\cos \alpha$.
7. $|\mathsf{AD}|=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}|\mathsf{AB}|=\frac{1}{4}|\mathsf{AB}|$
8. Skala to stosunek odcinka przy wierzchołku $\mathsf{A}$ do całego boku $\mathsf{AB}$.
9. $\mathsf{k}=\frac{|\mathsf{AD}|}{|\mathsf{AB}|}=\boxed{\frac{1}{4}}$
10. Podobieństwo trójkątów
11. $\mathsf{DE}\parallel \mathsf{BC}\Rightarrow △\mathsf{ADE}\sim △\mathsf{ABC}$
12. Trójkąty mają wspólny kąt przy wierzchołku $\mathsf{A}$ i równe kąty odpowiadające przy prostych równoległych.
13. $|\mathsf{CE}|=(1-\mathsf{k})|\mathsf{AC}|$
14. Odcinek $\mathsf{CE}$ to bok $\mathsf{AC}$ bez odcinka przy wierzchołku $\mathsf{A}$, więc $|\mathsf{CE}|=(1-\mathsf{k})|\mathsf{AC}|$.
15. $|\mathsf{CE}|=\boxed{\frac{3}{4}}|\mathsf{AC}|$
16. Wyrażenie przez odcinek BC
17. W trójkącie $\mathsf{ABC}$: $\mathrm{tg}\alpha =\frac{|\mathsf{BC}|}{|\mathsf{AC}|}$
18. $|\mathsf{AC}|=\frac{\sqrt{3}}{3}|\mathsf{BC}|$
19. Wstawiamy wyrażenie za $|\mathsf{AC}|$ do wyniku z podobieństwa.
20. $|\mathsf{CE}|=\frac{3}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{3}|\mathsf{BC}|=\boxed{\frac{\sqrt{3}}{4}}|\mathsf{BC}|$