Dwusieczna kąta i stosunek pól trójkątów

Rozwiązanie krok po kroku

Sposób I: pole z sinusem kąta

1. To należało wykazać.
2. Krok 1. Połowy kąta $\mathsf{KLM}$
3. odcinek $\mathsf{LN}$ leży na dwusiecznej
4. $|\sphericalangle \mathsf{KLM}|=2\alpha \Rightarrow |\sphericalangle \mathsf{KLN}|=|\sphericalangle \mathsf{NLM}|=\alpha$
5. Krok 2A. Pole $\mathsf{KNL}$
6. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{KNL}}=\frac{1}{2}\cdot |\mathsf{LK}|\cdot |\mathsf{LN}|\cdot \sin \alpha$
7. pole trójkąta z dwóch boków i sinusa kąta między nimi; kąt między bokami $\mathsf{LK}$ i $\mathsf{LN}$ to $\alpha$
8. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{KNL}}=\boxed{\frac{1}{2}\cdot a\cdot |LN|\cdot \sin \alpha }$
9. Krok 2B. Pole $\mathsf{NML}$
10. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{NML}}=\frac{1}{2}\cdot |\mathsf{LM}|\cdot |\mathsf{LN}|\cdot \sin \alpha$
11. ten sam wzór; kąt między bokami $\mathsf{LM}$ i $\mathsf{LN}$ też jest równy $\alpha$
12. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{NML}}=\boxed{\frac{1}{2}\cdot b\cdot |LN|\cdot \sin \alpha }$
13. Krok 3. Stosunek pól
14. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{KNL}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{NML}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \mathsf{a}\cdot |\mathsf{LN}|\cdot \sin \alpha }{\frac{1}{2}\cdot \mathsf{b}\cdot |\mathsf{LN}|\cdot \sin \alpha }$
15. czynniki $\frac{1}{2}$, $|\mathsf{LN}|$ i $\sin \alpha$ są wspólne dla licznika i mianownika
16. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{KNL}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{NML}}}=\boxed{\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}$

Sposób II: równe odległości od ramion kąta

1. To należało wykazać.
2. Krok 1. Wysokości z wierzchołka $\mathsf{N}$
3. dwusieczna jest zbiorem punktów równoodległych od ramion kąta
4. $\mathsf{N}\in \text{dwusieczna kąta }\mathsf{KLM}$
5. odległości punktu $\mathsf{N}$ od półprostych $\mathsf{LK}$ i $\mathsf{LM}$ są równe, a to są wysokości trójkątów $\mathsf{KNL}$ i $\mathsf{NML}$ poprowadzone z wierzchołka $\mathsf{N}$
6. ${\mathsf{h}}_{\mathsf{KNL}}={\mathsf{h}}_{\mathsf{NML}}=\boxed{d}$
7. Krok 2. Stosunek pól
8. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{KNL}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{NML}}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \mathsf{a}\cdot \mathsf{d}}{\frac{1}{2}\cdot \mathsf{b}\cdot \mathsf{d}}$
9. podstawami są boki $\mathsf{LK}=\mathsf{a}$ i $\mathsf{LM}=\mathsf{b}$, a wysokość $\mathsf{d}$ jest wspólna
10. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{KNL}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{NML}}}=\boxed{\frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}$

Zapis $\frac{\frac{1}{2}\mathsf{ah}}{\frac{1}{2}\mathsf{bh}}$ bez wyjaśnienia, że $\mathsf{h}$ to wysokości obu trójkątów poprowadzone z wierzchołka $\mathsf{N}$, i bez uzasadnienia ich równości nie jest dowodem. Rozumowanie oparte na konkretnej mierze kąta (np. $90^{\circ }$) też nie jest dowodem.