Odcinki prostopadłe w kwadracie

Rozwiązanie krok po kroku

Współrzędne i podobieństwo trójkątów

1. Dla $\mathsf{k}=\mathsf{l}$ (jak w oryginale CKE) prosta $\mathsf{DL}$ jest prostopadła do $\mathsf{CK}$ - trójkąt $\mathsf{CPQ}$ jest wtedy prostokątny w $\mathsf{P}$.
2. Krok 1. Układ współrzędnych
3. $\mathsf{D}=(0,0)$, $\mathsf{A}=(\mathsf{a},0)$, $\mathsf{B}=(\mathsf{a},\mathsf{a})$, $\mathsf{C}=(0,\mathsf{a})$
4. $\mathsf{K}=\left(\frac{3}{4}\mathsf{a},0\right),\mathsf{L}=\left(\mathsf{a},\frac{1}{3}\mathsf{a}\right)$
5. Krok 2. Punkt M z podobieństwa
6. warunek $\mathsf{CK}\perp \mathsf{KM}$
7. $△\mathsf{DCK}\sim △\mathsf{AKM}$
8. kąty ostre przy wierzchołku $\mathsf{K}$ dopełniają się do $90°$, więc oba trójkąty prostokątne mają te same kąty
9. $\frac{|\mathsf{AM}|}{|\mathsf{AK}|}=\frac{|\mathsf{DK}|}{|\mathsf{DC}|}$
10. $|\mathsf{AK}|=\mathsf{a}-\frac{3}{4}\mathsf{a}=\frac{1}{4}\mathsf{a}$, $|\mathsf{DK}|=\frac{3}{4}\mathsf{a}$, $|\mathsf{DC}|=\mathsf{a}$
11. $|\mathsf{AM}|=\frac{1}{4}\mathsf{a}\cdot \frac{3}{4}$
12. mnożymy ułamki i skracamy
13. $|\mathsf{AM}|=\boxed{\frac{3}{16}a}$
14. Krok 3. Równania prostych
15. $\mathsf{M}=\left(\mathsf{a},\frac{3}{16}\mathsf{a}\right)$
16. $\mathsf{DL}:\mathsf{y}=\frac{1}{3}\mathsf{x}$
17. prosta przechodzi przez $\mathsf{D}=(0,0)$ i $\mathsf{L}=\left(\mathsf{a},\frac{1}{3}\mathsf{a}\right)$, więc jej współczynnik kierunkowy to $\frac{\frac{1}{3}\mathsf{a}}{\mathsf{a}}=\frac{1}{3}$
18. $\mathsf{CK}:\mathsf{y}=\mathsf{a}-\frac{4}{3}\mathsf{x}$
19. prosta przechodzi przez $\mathsf{C}=(0,\mathsf{a})$ i $\mathsf{K}=\left(\frac{3}{4}\mathsf{a},0\right)$: wyraz wolny $\mathsf{a}$, współczynnik kierunkowy $\frac{0-\mathsf{a}}{\frac{3}{4}\mathsf{a}-0}=-\frac{4}{3}$
20. $\mathsf{CM}:\mathsf{y}=\mathsf{a}-\frac{13}{16}\mathsf{x}$
21. prosta przechodzi przez $\mathsf{C}=(0,\mathsf{a})$ i $\mathsf{M}=\left(\mathsf{a},\frac{3}{16}\mathsf{a}\right)$: współczynnik kierunkowy $\frac{\frac{3}{16}\mathsf{a}-\mathsf{a}}{\mathsf{a}}=-\frac{13}{16}$
22. Krok 4a. Punkt P
23. $\mathsf{P}=\mathsf{DL}\cap \mathsf{CK}$
24. $\frac{1}{3}\mathsf{x}=\mathsf{a}-\frac{4}{3}\mathsf{x}$
25. przyrównujemy prawe strony równań prostych $\mathsf{DL}$ i $\mathsf{CK}$
26. $\left(\frac{1}{3}+\frac{4}{3}\right)\mathsf{x}=\mathsf{a}$
27. dzielimy przez współczynnik przy $\mathsf{x}$
28. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{P}}=\boxed{\frac{3}{5}a}$
29. punkty $\mathsf{D}$, $\mathsf{P}$, $\mathsf{L}$ leżą na jednej prostej, więc $|\mathsf{DP}|:|\mathsf{DL}|$ jest równy stosunkowi ich odciętych ${\mathsf{x}}_{\mathsf{P}}:\mathsf{a}$
30. $\frac{|\mathsf{DP}|}{|\mathsf{DL}|}=\boxed{\frac{3}{5}}$
31. Krok 4b. Punkt Q
32. $\mathsf{Q}=\mathsf{DL}\cap \mathsf{CM}$
33. $\frac{1}{3}\mathsf{x}=\mathsf{a}-\frac{13}{16}\mathsf{x}$
34. przyrównujemy prawe strony równań prostych $\mathsf{DL}$ i $\mathsf{CM}$
35. $\left(\frac{1}{3}+\frac{13}{16}\right)\mathsf{x}=\mathsf{a}$
36. dzielimy przez współczynnik przy $\mathsf{x}$
37. ${\mathsf{x}}_{\mathsf{Q}}=\boxed{\frac{48}{55}a}$
38. punkty $\mathsf{D}$, $\mathsf{Q}$, $\mathsf{L}$ leżą na jednej prostej, więc $|\mathsf{DQ}|:|\mathsf{DL}|$ jest równy stosunkowi ich odciętych ${\mathsf{x}}_{\mathsf{Q}}:\mathsf{a}$
39. $\frac{|\mathsf{DQ}|}{|\mathsf{DL}|}=\boxed{\frac{48}{55}}$
40. Krok 5. Długość odcinka
41. $|\mathsf{DP}|$
42. $|\mathsf{DP}|={\mathsf{x}}_{\mathsf{P}}\sqrt{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}$
43. $\mathsf{D}=(0,0)$ i $\mathsf{P}$ leżą na prostej o współczynniku kierunkowym $\frac{1}{3}$; $\sqrt{1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{10}}{3}$
44. $|\mathsf{DP}|=\frac{3}{5}\mathsf{a}\cdot \frac{\sqrt{10}}{3}$
45. mnożymy i doprowadzamy do postaci z tezy
46. $|\mathsf{DP}|=\boxed{\frac{\sqrt{10}}{5}\mathbf{a}}$