Twierdzenie Talesa: proste równoległe na ramionach kąta

Rozwiązanie krok po kroku

Twierdzenie Talesa

1. Dane i proporcja Talesa
2. proste $\mathsf{k}\parallel \mathsf{l}$ przecinają ramiona kąta o wierzchołku $\mathsf{A}$
3. $\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{AD}|}=\frac{|\mathsf{BC}|}{|\mathsf{DE}|}$
4. Wyznacz $|\mathsf{AB}|$
5. $\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{AB}|+|\mathsf{BD}|}=\frac{|\mathsf{BC}|}{|\mathsf{DE}|}$
6. $|\mathsf{AD}|=|\mathsf{AB}|+|\mathsf{BD}|$, a $|\mathsf{AB}|$ jest szukane
7. $\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{AB}|+5}=\frac{4}{10}$
8. iloczyny wyrazów skrajnych i środkowych są równe
9. $|\mathsf{AB}|\cdot 10=4\cdot \left(|\mathsf{AB}|+5\right)$
10. przenosimy wyrazy z $|\mathsf{AB}|$ na jedną stronę i wyłączamy przed nawias
11. $|\mathsf{AB}|=\frac{4\cdot 5}{10-4}=\boxed{3\frac{1}{3}}$

Krótszemu odcinkowi między ramionami (bliżej wierzchołka $\mathsf{A}$) odpowiada krótsze ramię - dłuższe ramię daje dłuższy odcinek. Proporcja $\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{AD}|}=\frac{|\mathsf{BC}|}{|\mathsf{DE}|}$ zachowuje ten sam kierunek po obu stronach.

Typowa pomyłka to odwrócenie proporcji (np. $\frac{|\mathsf{AD}|}{|\mathsf{AB}|}=\frac{|\mathsf{BC}|}{|\mathsf{DE}|}$) albo użycie $|\mathsf{BD}|$ zamiast całego ramienia $|\mathsf{AD}|=|\mathsf{AB}|+|\mathsf{BD}|$.