Oblicz i porównaj pola trójkątów

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: wysokość z Pitagorasa, potem pola

1. Dane
2. kąt prosty przy $\mathsf{B}$, szukana wysokość $|\mathsf{BC}|$
3. $|\mathsf{AD}|=12\text{cm},|\mathsf{DB}|=24\text{cm},|\mathsf{DC}|=74\text{cm}$
4. Wysokość trójkąta
5. $|\mathsf{DB}{|}^2+|\mathsf{BC}{|}^2=|\mathsf{DC}{|}^2$
6. w trójkącie $\mathsf{DBC}$ kąt prosty jest przy wierzchołku $\mathsf{B}$, więc $|\mathsf{DC}|$ to przeciwprostokątna
7. $|\mathsf{BC}{|}^2={74}^2-{24}^2$
8. podnosimy dane długości do kwadratu
9. $|\mathsf{BC}{|}^2=5476-576=\boxed{4900}$
10. długość odcinka jest dodatnia, więc bierzemy pierwiastek arytmetyczny
11. $|\mathsf{BC}|=70\text{cm}$
12. Pole trójkąta $\mathsf{DBC}$
13. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{DBC}}=\frac{|\mathsf{DB}|\cdot |\mathsf{BC}|}{2}$
14. przyprostokątne $\mathsf{DB}$ i $\mathsf{BC}$ są do siebie prostopadłe, więc jedna jest podstawą, a druga wysokością
15. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{DBC}}=\frac{24\cdot 70}{2}=\frac{1680}{2}$
16. dzielimy iloczyn przez dwa
17. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{DBC}}=\boxed{840}{\text{cm}}^2$
18. Pole trójkąta $\mathsf{ADC}$
19. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}=\frac{|\mathsf{AD}|\cdot |\mathsf{BC}|}{2}$
20. wysokość opuszczona z $\mathsf{C}$ na prostą $\mathsf{AB}$ to nadal odcinek $\mathsf{BC}$
21. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}=\frac{12\cdot 70}{2}=\frac{840}{2}$
22. dzielimy iloczyn przez dwa
23. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}=\boxed{420}{\text{cm}}^2$
24. Pole całości i stosunki pól
25. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ABC}}={\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}+{\mathsf{P}}_{\mathsf{DBC}}=420+840=\boxed{1260}{\text{cm}}^2$
26. trójkąty $\mathsf{ADC}$, $\mathsf{DBC}$ i $\mathsf{ABC}$ mają tę samą wysokość, więc ich pola są w takim stosunku jak podstawy $\mathsf{AD}$, $\mathsf{DB}$ i $\mathsf{AB}$
27. ${\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}:{\mathsf{P}}_{\mathsf{DBC}}=|\mathsf{AD}|:|\mathsf{DB}|=1:2$
28. podstawa całego trójkąta jest sumą obu odcinków
29. $\frac{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ABC}}}{{\mathsf{P}}_{\mathsf{ADC}}}=\frac{|\mathsf{AB}|}{|\mathsf{AD}|}=\boxed{3}$

Najczęstsza pomyłka: przyjęcie $|\mathsf{DC}|$ za wysokość trójkąta $\mathsf{DBC}$. Wysokością jest przyprostokątna $|\mathsf{BC}|$, a $|\mathsf{DC}|$ to przeciwprostokątna.

Długość $|\mathsf{AC}|$ nie jest liczbą wymierną, więc obwodów trójkątów $\mathsf{ABC}$ i $\mathsf{ADC}$ nie da się zapisać liczbą całkowitą. Do ich porównania wystarczą nierówności $|\mathsf{DC}|>|\mathsf{BC}|$ oraz $|\mathsf{AC}|>|\mathsf{AB}|$.