Suma kolejnych potęg
Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n≥slant 0 liczba 7^ n + 7^ n+1 jest podzielna przez 8.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: wyłączenie wspólnego czynnika
- Liczba zapisana jako iloczyn z czynnikiem 8 jest podzielna przez 8 dla każdej liczby całkowitej n ≥slant 0. To kończy dowód.
- Krok 1. Wyłącz wspólny czynnik
- Najniższa potęga to 7^ n - wyłączamy ją przed nawias.
- 7^ n + 7^ n+1 = 7^ n ≤ft( 1 + 7)
- 7^ n jest wspólnym czynnikiem każdego składnika; w nawiasie zostają kolejne potęgi 7 od 7^ 0 =1 wzwyż
- 7^ n ≤ft( 1 + 7)
- Krok 2. Oblicz wartość nawiasu
- Sumujemy potęgi w nawiasie - to stała liczba, niezależna od n.
- 7^ n ≤ft( 1 + 7) = 7^ n · 8
- obliczamy sumę potęg w nawiasie: 1 + 7 = 8
- 7^ n · 8
- Krok 3. Wskaż dzielnik
- Suma w nawiasie jest równa dzielnikowi 8.
- 7^ n · 8 = 8 · 7^ n
- wartość nawiasu 8 jest dokładnie dzielnikiem 8, więc to ona jest szukanym czynnikiem
- 8 · 7^ n
Wyłączenie 7^ n+1 albo zapis 7^ n · 2 zamiast 7^ n - przed nawias wychodzi najniższa potęga 7^ n, bo tylko ona dzieli każdy składnik sumy.
Klucz dowodu: po wyłączeniu 7^ n w nawiasie zostaje stała liczba 8 niezależna od n. Skoro 8 dzieli 8, to dzieli całe wyrażenie dla każdego n.