Różnica potęg

Wykaż, że liczba 4^ 57 - 2^ 109 jest podzielna przez 31.

Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.

Rozwiązanie krok po kroku

Liczba zapisana jako 2^ 109 · 31 ma czynnik 31, więc jest podzielna przez 31. To kończy dowód.
Krok 1. Wspólna podstawa
4 = 2^ 2, więc pierwszy człon zapisujemy jako potęgę 2.
4^ 57 - 2^ 109 = ≤ft( #E53A3A 2^ 2)^ 57 - 2^ 109
podstawę pierwszego członu zapisujemy jako potęgę liczby 2
= #E53A3A 2^ 114 - 2^ 109
mnożymy wykładniki: 2 · 57 = 114, oba człony mają teraz podstawę 2
2^ 114 - 2^ 109
Krok 2. Wyłącz wspólny czynnik
Niższy wykładnik to 109 - wyłączamy 2^ 109 przed nawias.
2^ 114 - 2^ 109 = 2^ 109 · 2^ 5 - 2^ 109
rozbijamy wyższą potęgę: 2^ 114 = 2^ 109 · 2^ 5, bo 109 + 5 = 114
= 2^ 109 ≤ft( #E53A3A 2^ 5 - 1)
2^ 109 jest wspólne dla obu składników, wyciągamy je przed nawias
2^ 109 ≤ft(2^ 5 - 1)
Krok 3. Oblicz nawias i wskaż dzielnik
2^ 109 ≤ft( #E53A3A 2^ 5 - 1) = 2^ 109 ≤ft( 32 - 1)
2^ 5 = 32, więc nawias to 32 - 1
= 2^ 109 · 31

Wyłączenie 2^ 114 zamiast 2^ 109 - przed nawias wychodzi niższa potęga (mniejszy wykładnik 109), bo tylko ona dzieli oba składniki.

Klucz dowodu: po sprowadzeniu do wspólnej podstawy różnica wykładników wynosi 5, a 2^ 5 - 1 = 31 jest dokładnie szukanym dzielnikiem.