Pole trójkąta o wierzchołkach na paraboli
Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = x^ 2 - 10x - 11. W kartezjańskim układzie współrzędnych (x, y) wykresem funkcji f jest parabola o wierzchołku w punkcie C. Ta parabola przecina oś Ox w punktach A oraz B. **Oblicz pole trójkąta ABC.**
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Postać kanoniczna → zera (A, B) i wierzchołek (C) → pole z podstawy na osi Ox
- Klucz: A i B leżą na osi Ox, więc bok AB jest podstawą trójkąta, a wysokością jest |q| - odległość wierzchołka od osi Ox. Postać kanoniczna daje od razu i wierzchołek, i miejsca zerowe.
- Krok 1. Postać kanoniczna
- f(x) = a(x-p)^2 + q - z niej czytamy wierzchołek C=(p,,q)
- f(x) = (x - 5)^2 - 36
- Krok 2. Miejsca zerowe A, B
- rozwiązujemy f(x)=0 z postaci kanonicznej
- (x - 5)^2 - 36 = 0
- przenosimy wyraz wolny na prawo i dzielimy przez współczynnik a - po prawej zostaje liczba dodatnia, więc równanie ma dwa rozwiązania
- (x - 5)^2 = 36
- pierwiastkujemy obie strony - stąd znak ± dający dwa miejsca zerowe
- x - 5 = ± 6
- z dwóch znaków otrzymujemy dwa miejsca zerowe - to odcięte punktów A i B
- x_1 = -1, x_2 = 11
- Krok 3. Wierzchołek C
- współrzędne (p,,q) czytamy wprost z postaci kanonicznej
- C = ≤ft( 5,; -36)
- Krok 4. Pole trójkąta ABC
- podstawa AB na osi Ox, wysokość = odległość C od osi Ox
- |AB| = x_2 - x_1 = 12, h = |q| = 36
- długość podstawy to różnica miejsc zerowych, wysokość to odległość wierzchołka od osi Ox
- P = 1/2 · 12 · 36
- wstawiamy podstawę i wysokość do wzoru na pole trójkąta
- P_ ABC = 216
Najczęstsze pomyłki: (1) przyjęcie jako wysokości wartości q ze znakiem zamiast |q| (pole jest dodatnie); (2) zła długość podstawy - pomylenie x_2-x_1 z sumą lub pojedynczym miejscem zerowym; (3) pominięcie czynnika 1 2 we wzorze na pole trójkąta.