Iloczyn par wyrazow ciagu

Rozwiązanie krok po kroku

Klasyczny: para o tej samej sumie indeksów

1. Wartość zależy wyłącznie od sumy indeksów, a nie od tego, które konkretnie wyrazy weźmiemy - dlatego pierwszy wyraz i iloraz (różnica) nie są potrzebne.
2. Krok 1. Sumy indeksów
3. para dana kontra para szukana
4. $1+3=42+2=4$
5. Krok 2. Własność ciągu geometrycznego
6. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}={\mathsf{a}}_1\cdot {\mathsf{q}}^{\mathsf{k}-1}$
7. każdy wyraz ciągu geometrycznego zapisujemy przez pierwszy wyraz i iloraz
8. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{i}}\cdot {\mathsf{a}}_{\mathsf{j}}={\mathsf{a}}_1^2\cdot {\mathsf{q}}^{\mathsf{i}+\mathsf{j}-2}$
9. w wykładniku zostaje wyłącznie suma indeksów - pojedyncze indeksy znikają
10. $\mathsf{i}+\mathsf{j}=\mathsf{m}+\mathsf{n}\Rightarrow {\mathsf{a}}_{\mathsf{i}}\cdot {\mathsf{a}}_{\mathsf{j}}={\mathsf{a}}_{\mathsf{m}}\cdot {\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}$
11. Krok 3. Podstaw daną wartość
12. ${\mathsf{a}}_2^2$
13. szukana para ma tę samą sumę indeksów co para z treści zadania, więc obie wartości są równe
14. ${\mathsf{a}}_1\cdot {\mathsf{a}}_3=25$
15. tę wartość podano w treści zadania
16. $\boxed{25}$

Najczęstsza pomyłka: mnożenie wyniku przez 2 albo podnoszenie go do kwadratu. Wartość pary przenosi się bez zmian.

Kwadrat ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}^2$ to para $(\mathsf{k},\mathsf{k})$ o sumie indeksów $2k$, a podwojony wyraz $2{\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}$ to suma ${\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}+{\mathsf{a}}_{\mathsf{k}}$ - obie formy podlegają tej samej własności.