Ciąg kwadratowy: suma i właściwości

Rozwiązanie krok po kroku

Suma ${\mathsf{S}}_3$: policz trzy pierwsze wyrazy

1. Postać iloczynowa ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=2\mathsf{n}(\mathsf{n}-2)$ od razu pokazuje, że ${\mathsf{a}}_2=0$ (czynnik $\mathsf{n}-2$ zeruje się dla $\mathsf{n}=2$).
2. Krok 1. Zapisz wzór w postaci iloczynu
3. ze wzoru ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=2{\mathsf{n}}^2-4n$ wyłączamy $\mathsf{n}$ przed nawias
4. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=2\cdot \mathsf{n}(\mathsf{n}-2)$
5. Krok 2. Policz trzy pierwsze wyrazy
6. podstaw $\mathsf{n}=1,2,3$
7. ${\mathsf{a}}_1=2\cdot 1(1-2)=-2$
8. podstawiamy $\mathsf{n}=1$
9. ${\mathsf{a}}_2=2\cdot 2(2-2)=0$
10. podstawiamy $\mathsf{n}=2$
11. ${\mathsf{a}}_3=2\cdot 3(3-2)=6$
12. podstawiamy $\mathsf{n}=3$
13. Krok 3. Dodaj wyrazy
14. sumujemy ${\mathsf{a}}_1$, ${\mathsf{a}}_2$ i ${\mathsf{a}}_3$
15. ${\mathsf{S}}_3={\mathsf{a}}_1+{\mathsf{a}}_2+{\mathsf{a}}_3$
16. ${\mathsf{a}}_1=-2$, ${\mathsf{a}}_2=0$, ${\mathsf{a}}_3=6$
17. ${\mathsf{S}}_3=\boxed{4}$

Zdania Prawda/Fałsz: na co patrzeć

1. Wartości wyrazów/sum sprawdzamy rachunkiem, własności (arytmetyczność, monotoniczność, zero) - z postaci wzoru. Każde zdanie oceniamy osobno.
2. Czy ciąg jest arytmetyczny?
3. sprawdź, czy różnice kolejnych wyrazów są stałe
4. ${\mathsf{a}}_2-{\mathsf{a}}_1\ne {\mathsf{a}}_3-{\mathsf{a}}_2$
5. wzór jest kwadratowy (${\mathsf{n}}^2$), więc różnice rosną - ciąg NIE jest arytmetyczny
6. $\boxed{\text{nie jest arytmetyczny}}$
7. Który wyraz jest zerem?
8. z postaci ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=2\mathsf{n}(\mathsf{n}-2)$
9. ${\mathsf{a}}_{\mathsf{n}}=0⟺\mathsf{n}-2=0$
10. iloczyn jest zerem, gdy zeruje się czynnik $\mathsf{n}-2$
11. $\boxed{a_2=0}$
12. Monotoniczność od pewnego miejsca
13. parabola ${\mathsf{n}}^2$ ma wierzchołek, dalej rośnie (lub maleje) jednostajnie
14. $\text{dla }\mathsf{n}>2\text{ wyrazy zmieniają się monotonicznie}$

Najczęstsza pomyłka: uznanie ciągu za arytmetyczny - kwadratowy wzór daje rosnące różnice. Druga pułapka: błąd znaku przy ujemnym $\mathsf{c}$ w obliczaniu wyrazów.