Oblicz stosunek pól ostrosłupa
Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny ABCW o podstawie ABC. Płaszczyzna zawierająca krawędź AB podstawy i prostopadła do krawędzi bocznej CW przecina tę krawędź w punkcie F, przy czym |WF|/|CF| = 23/3. Oblicz stosunek pola podstawy tego ostrosłupa do pola jego powierzchni całkowitej.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Rzut środkowej podstawy na krawędź boczną
- Wynik nie zależy od długości krawędzi, tylko od stosunku l do a, dlatego wystarczyła sama proporcja odcinków na krawędzi bocznej.
- Dane
- a krawędź podstawy, l krawędź boczna, M środek krawędzi AB
- |WF|/|CF| = 23/3
- Położenie punktu F
- AB CM, AB WM
- W trójkącie równobocznym ABC oraz w trójkątnej ścianie równoramiennej środkowa poprowadzona do krawędzi AB jest jej wysokością. Prosta prostopadła do dwóch przecinających się prostych płaszczyzny jest prostopadła do całej płaszczyzny.
- |MF| CW
- Płaszczyzna przekroju zawiera AB, więc jest prostopadła do płaszczyzny CWM i przecina ją wzdłuż odcinka |MF|. Punkt F jest zatem spodkiem wysokości trójkąta CWM opuszczonej z wierzchołka M.
- |CM|^2 - |CF|^2 = |MF|^2 = |WM|^2 - |WF|^2
- Wysokość |MF| rozcina trójkąt CWM na dwa trójkąty prostokątne o wspólnej przyprostokątnej. Odcinek |WM| jest wysokością ściany bocznej, a |WF| = l - |CF|.
- 3a^2/4 - |CF|^2 = l^2 - a^2/4 - ≤ft(l - |CF|)^2
- Po rozwinięciu kwadratu po prawej stronie znoszą się składniki z |CF|^2 oraz z l^2.
- a^2 = 2l · |CF|
- Dzielimy obie strony przez podwojoną krawędź boczną.
- |CF| = a^2 2l
- Krawędź boczna z danej
- |WF|/|CF| = 23/3
- Każdą postać danej sprowadzamy do udziału odcinka |CF| w całej krawędzi |CW|, korzystając z równości |CW| = |CF| + |WF|.
- |CF| / |CW| = #E53A3A 3/26
- Podstawiamy wynik poprzedniego etapu oraz długość krawędzi bocznej.
- a^2/2l^2 = 3/26
- Odwracamy obie strony i dzielimy przez dwa.
- l^2/a^2 = 13/3
- Wysokość ściany bocznej i pole boczne
- h wysokość ściany bocznej, P_ b pole powierzchni bocznej
- ≤ft(h/a)^2 = l^2/a^2 - 1/4
- Wysokość ściany bocznej, krawędź boczna i połowa krawędzi podstawy tworzą trójkąt prostokątny. Obie strony dzielimy przez a^2.
- ≤ft(h/a)^2 = 13/3 - 1/4 = #E53A3A 49/12
- Pierwiastkujemy, długości są dodatnie.
- h/a = 7√(3)/6
- Powierzchnia boczna składa się z trzech przystających trójkątów o podstawie a i wysokości h.
- P_ b a^2 = 3/2 · 7√(3)/6 = 7√(3)/4
- Szukany stosunek pól
- P_ p a^2 = √(3)/4
- Podstawą jest trójkąt równoboczny o boku a. Dzielimy pole boczne przez pole podstawy.
- P_ b P_ p = 7√(3)/4 · 4/√(3) = 7
- Powierzchnia całkowita to suma pola bocznego i pola podstawy.
- P_ p P_ c = 1/ 7 + 1 = 1/8
Najczęstsza pomyłka: użycie wysokości ostrosłupa zamiast wysokości ściany bocznej, czyli odjęcie 1/3 zamiast 1/4 w twierdzeniu Pitagorasa. Wysokość bryły opiera się na promieniu okręgu opisanego na podstawie, a wysokość ściany bocznej na połowie krawędzi podstawy.
Rzut |CF| = a^2/2l pokazuje, że punkt F leży wewnątrz krawędzi tylko wtedy, gdy 2l^2 > a^2. Dla ostrosłupa prawidłowego trójkątnego zawsze l > a√(3)/3, więc warunek jest spełniony.