Oblicz pole boczne z kąta ścian
Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD. Krawędź boczna SD jest wysokością tego ostrosłupa, a obwód podstawy jest równy 384√(1201). Tangens kąta β między ścianami bocznymi ABS i BCS tego ostrosłupa jest równy - 7 √(1201)/ 576. Oblicz długość krawędzi bocznej SD.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: kąt dwuścienny wyznacza proporcje bryły
- Prostopadłość i kąt β
- E to rzut prostokątny wierzchołka A na krawędź SB
- AB DA, AB SD
- bok kwadratu jest prostopadły do sąsiedniego boku, a krawędź SD jako wysokość ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy
- AB płaszczyzna DAS
- prosta prostopadła do dwóch przecinających się prostych płaszczyzny jest prostopadła do całej płaszczyzny
- AB AS
- trójkąt ABS jest prostokątny przy A, analogicznie trójkąt BCS przy C; rzuty A i C na krawędź SB pokrywają się w punkcie E dzięki symetrii bryły
- β = |∠ AEC|
- Kąt β wyznacza proporcje
- β = - 576 / 625
- z tożsamości 1 + ^2β = 1/ ^2β; tangens jest ujemny, więc kąt β jest rozwarty i β < 0
- |AC|^2 = 2,|AE|^2,(1 - β)
- trójkąt AEC jest równoramienny, bo |AE| = |CE|, a |AC| = a√(2) to przekątna kwadratu
- |AE| = a · |SA| / |SB|
- wysokość z wierzchołka kąta prostego w trójkącie ABS: pole liczone na dwa sposoby
- β = 1 - |SB|^2 / |SA|^2 = - a^2 / |SA|^2
- |SB|^2 = a^2 + |SA|^2 z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie ABS
- a^2 / |SA|^2 = 576 / 625;; |SA| = #E53A3A 25 / 24,a
- z twierdzenia Pitagorasa: |SD|^2 = |SA|^2 - a^2 oraz |SB|^2 = a^2 + |SA|^2
- |SD| = 7 / 24,a, |SB| = √(1201) / 24,a
- Skala bryły z danej wielkości
- 4a = 384√(1201);; a = 96√(1201)
- obwód kwadratu o boku a jest równy 4a
- |SD| = 28√(1201), |SA| = 100√(1201)
- proporcje z poprzedniego kroku zastosowane do krawędzi a = 96√(1201)
- |SB| = √(1201) / 24,a = 4804
- Odcinki przy punkcie E
- |AE| = a · |SA| / |SB| = 2400
- pole trójkąta ABS liczone na dwa sposoby: 1/2,a,|SA| = 1/2,|SB|,|AE|
- |BE| = a^2 / |SB| = 2304
- Szukana wielkość
- długość krawędzi bocznej SD
- |SD| = 7 / 24,a = 7 / 24 · 96√(1201)
- wartość wynika z proporcji wyznaczonej przez kąt β
- 28√(1201)
Najczęstsza pomyłka: pominięcie znaku minus przy β. Kąt między ścianami jest rozwarty, więc β < 0; użycie wartości dodatniej daje |AE| liczone z a^2 n^2/k^2 zamiast a^2 n^2/ 1201 i cała dalsza część rozwiązania się rozjeżdża.