Ostrosłup: kąt między ścianami z kąta między krawędziami
W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym ABCS podstawa ABC jest trójkątem równobocznym. Długość okręgu opisanego na podstawie ABC jest równa 8√(2)π, a cosinus kąta między krawędziami bocznymi SB i SC jest równy 1 / 4. Oblicz długość krawędzi podstawy ABC oraz cosinus kąta między ścianami bocznymi SAC i SBC tego ostrosłupa.
Rozwiąż to zadanie online z natychmiastowym sprawdzeniem wyniku i pełnym rozwiązaniem krok po kroku.
Rozwiązanie krok po kroku
Klasyczny: od okręgu opisanego do kąta dwuściennego
- Sedno: rozmiar podstawy służy tylko do policzenia krawędzi a - do kąta dwuściennego w ogóle nie jest potrzebny, bo = β 1+ β zależy wyłącznie od kąta β między krawędziami bocznymi.
- Krok 1. Dane bryły
- Ostrosłup prawidłowy trójkątny: podstawa ABC równoboczna, środek O jest środkiem okręgu opisanego o promieniu R.
- obwód okręgu = 8√(2)π, β = 1/4
- Krok 2. Krawędź podstawy a
- Z obwodu okręgu opisanego wyznaczamy R, a w trójkącie równobocznym a = R√(3).
- 2π R = #E53A3A 8√(2) π
- obwód okręgu opisanego to 2π R - przyrównujemy do wartości z treści i dzielimy przez 2π
- R = 4√(2)
- w trójkącie równobocznym bok jest √(3) razy dłuższy od promienia okręgu opisanego
- a = 4√(2)·√(3) = 4√(6)
- Krok 3. Krawędź boczna b
- W trójkącie równoramiennym BSC (SB = SC = b, BC = a) stosujemy twierdzenie cosinusów.
- a^2 = b^2 + b^2 - 2b^2 β
- bok BC = a leży naprzeciw kąta β przy wierzchołku S, a oba ramiona mają długość b
- a^2 = 2b^2≤ft(1 - #E53A3A 1/4)
- grupujemy wyrazy z b^2 i podstawiamy β z danych
- 96 = 2b^2· 3/4
- sprowadzamy 1 - β do jednego ułamka i wstawiamy a^2 = (4√(6))^2
- b^2 = 64
- Krok 4. Kąt między ścianami SAC i SBC
- Kąt liniowy tworzą wysokości AP, BP ścian opuszczone na wspólną krawędź SC; po podstawieniu wynik zależy tylko od β.
- = 1 - a^2 2,AP^2, AP^2 = a^2(1+ β) 2
- P to spodek wysokości z A i z B na krawędź SC; w trójkącie APB bok AB = a leży naprzeciw szukanego kąta
- = 1 - a^2 a^2≤ft(1 + β) = 1 - 1 1 + β
- kwadrat krawędzi podstawy skraca się - wynik przestaje zależeć od rozmiaru bryły
- = β 1 + β = 1/4,5/4,
- wstawiamy β z danych - w liczniku i mianowniku pojawia się ten sam mianownik 4, który się skróci
- = 1/5
Mylenie kąta β między krawędziami bocznymi (płaski, w trójkącie BSC) z kątem dwuściennym między ścianami. To dwa różne kąty - mierzymy między wysokościami ścian opuszczonymi na wspólną krawędź SC, nie między samymi krawędziami.
Wzór = β 1+ β jest zamknięty - nie zależy od długości krawędzi. Krawędź a i b liczymy tylko dlatego, że treść pyta osobno o długość a; do drugiej szukanej wystarczy sam β.