Oblicz bok z cosinusa kąta

Rozwiązanie krok po kroku

Twierdzenie cosinusów

1. Dane
2. $\alpha =|\sphericalangle \mathsf{KML}|$
3. $|\mathsf{KM}|=5,|\mathsf{LM}|=6,\cos \alpha =-\frac{1}{3}$
4. Twierdzenie cosinusów
5. $|\mathsf{KL}{|}^2=|\mathsf{KM}{|}^2+|\mathsf{LM}{|}^2-2\cdot |\mathsf{KM}|\cdot |\mathsf{LM}|\cdot \cos \alpha$
6. Bok $\mathsf{KL}$ leży naprzeciw kąta $\alpha$, a boki $\mathsf{KM}$ i $\mathsf{LM}$ tworzą ten kąt.
7. $|\mathsf{KL}{|}^2=5^2+6^2-2\cdot 5\cdot 6\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)$
8. Kwadraty boków i iloczyn z cosinusem liczymy osobno.
9. $|\mathsf{KL}{|}^2=25+36+20$
10. Cosinus jest ujemny, więc trzeci składnik ma znak $+$.
11. $|\mathsf{KL}{|}^2=\boxed{81}$
12. Długość boku
13. $|\mathsf{KL}|=\sqrt{81}=\boxed{9}$

Najczęstsza pomyłka: zgubiony znak cosinusa. Dla kąta rozwartego cosinus jest ujemny, więc składnik $2\cdot |\mathsf{KM}|\cdot |\mathsf{LM}|\cdot \cos \alpha$ zwiększa $|\mathsf{KL}{|}^2$ zamiast go zmniejszać.