Oblicz pole i cosinus kąta

Rozwiązanie krok po kroku

Zadanie 20.1: sinus i pole z dwóch boków

1. Dane
2. Kąt $\alpha$ leży naprzeciwko boku $12$, tworzą go boki $18$ i $26$.
3. $12,18,26,\cos \alpha =\frac{107}{117}$
4. Sinus kąta $\alpha$
5. ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{107}{117}\right)}^2$
6. jedynka trygonometryczna ${\sin }^2+{\cos }^2=1$ wiąże sinus z podanym cosinusem
7. ${\sin }^2\alpha =\frac{2240}{13689}$
8. kąt trójkąta ma miarę z przedziału $(0^{\circ },180^{\circ })$, więc jego sinus jest dodatni
9. $\sin \alpha =\boxed{\frac{8\sqrt{35}}{117}}$
10. Pole trójkąta
11. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 26\cdot \sin \alpha$
12. pole z dwóch boków i sinusa kąta zawartego między nimi
13. $\mathsf{P}=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 26\cdot \frac{8\sqrt{35}}{117}=\boxed{16\sqrt{35}}$

Zadanie 20.2: twierdzenie cosinusów

1. Cosinus kąta $\beta$
2. Kąt $\beta$ leży naprzeciwko boku $26$.
3. ${26}^2={12}^2+{18}^2-2\cdot 12\cdot 18\cdot \cos \beta$
4. po lewej bok leżący naprzeciwko kąta $\beta$, po prawej dwa boki, które ten kąt tworzą
5. $676=468-432\cos \beta$
6. zostawiamy wyraz z cosinusem po jednej stronie równania
7. $432\cos \beta =468-676=-208$
8. dzielimy obie strony przez współczynnik przy cosinusie
9. $\cos \beta =-\frac{208}{432}=\boxed{-\frac{13}{27}}$