Oblicz bok trójkąta wpisanego

Rozwiązanie krok po kroku

Twierdzenie sinusów i twierdzenie cosinusów

1. Krok 1. Sinus kąta ACB
2. $\frac{|\mathsf{AB}|}{\sin \sphericalangle \mathsf{ACB}}=2R$
3. Twierdzenie sinusów: bok podzielony przez sinus kąta naprzeciw niego daje średnicę okręgu opisanego.
4. $\sin \sphericalangle \mathsf{ACB}=\frac{5\sqrt{2}}{10}=\boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}$
5. Krok 2. Miara kąta ACB
6. $\sphericalangle \mathsf{ACB}=45^{\circ }\text{lub}\sphericalangle \mathsf{ACB}=135^{\circ }$
7. Treść mówi, że kąt ACB jest ostry.
8. $\sphericalangle \mathsf{ACB}=\boxed{45^{\circ }}$
9. Krok 3. Równanie z niewiadomą x = |BC|
10. $|\mathsf{AB}{|}^2={\mathsf{x}}^2+|\mathsf{AC}{|}^2-2\cdot \mathsf{x}\cdot |\mathsf{AC}|\cdot \cos \sphericalangle \mathsf{ACB}$
11. Twierdzenie cosinusów dla kąta ACB, który leży między bokami AC i BC.
12. $(5\sqrt{2}{)}^2={\mathsf{x}}^2+7^2-2\cdot \mathsf{x}\cdot 7\cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$
13. Po wymnożeniu wszystkie wyrazy przechodzą na jedną stronę.
14. $\boxed{x^2-7\sqrt{2}x-1=0}$
15. Krok 4. Długość boku BC
16. $\mathsf{\Delta }=98+4=102$
17. Wyróżnik równania kwadratowego z kroku 3.
18. ${\mathsf{x}}_1=\frac{7\sqrt{2}-\sqrt{102}}{2}<0,{\mathsf{x}}_2=\frac{7\sqrt{2}+\sqrt{102}}{2}$
19. Długość boku jest dodatnia, więc pierwszy pierwiastek odpada.
20. $|\mathsf{BC}|=\boxed{\frac{7\sqrt{2}+\sqrt{102}}{2}}$
21. Krok 5. Obwód
22. $7+5\sqrt{2}+\frac{7\sqrt{2}+\sqrt{102}}{2}=\boxed{\frac{\sqrt{102}+14+17\sqrt{2}}{2}}$

Pozostawienie obu kątów (45° i 135°) daje dwie długości boku BC; warunek z treści zostawia tylko jedną.